3
التساوي على المجال المشترك فقط: إثبات f(x) = g(x) عليه وبيان أن f ≠ g
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 2, Lesson 4
Goalأثبت أن دالتين تتفقان على مجالهما المشترك، وأبيّن أنهما مختلفتان، وأحل f(x) = g(x).
New words
المجال المشترك · حيث تكون الدالتان معرّفتينيبرهن · يبيّن بخطوات أن العبارة صحيحة دائمًايتفقان · يعطيان القيمة نفسها عند x نفسهايرفض · يستبعد حلًّا يقع خارج المجال المشترك
Explanation
الدالتان اللتان لهما أبسط قاعدة نفسها ومجالان مختلفان غير متساويتين، لكنهما تتفقان في الجزء المشترك من مجاليهما. ولإثبات f(x) = g(x) على المجال المشترك: (١) نجد Df وDg والمجال المشترك؛ (٢) نبسّط القاعدتين؛ (٣) نستنتج أنهما قاعدة واحدة، فيكون f(x) = g(x) لكل x في المجال المشترك. ولبيان أن f ≠ g نشير إلى قيمة لـx في مجال واحدة منهما فقط. ولحل f(x) = g(x) عندما تختلف القاعدتان نعمل في المجال المشترك فقط، ونحل المعادلة، ونرفض أي حل ليس فيه. وإذا لم يبق حل فمجموعة الحل ∅.
| x | −١ | ٠ | ١ | ٢ | ٣ |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | −٣/٢ | −٣ | لا قيمة | ٣ | ٣/٢ |
| g(x) | −٣/٢ | لا قيمة | لا قيمة | ٣ | ٣/٢ |
Worked examples
ليكن f(x) = ٣ ÷ (x − ١) وg(x) = ٣x ÷ (x² − x). أثبت أن f(x) = g(x) على المجال المشترك وبيّن أن f ≠ g. Df = R − {١}. وx² − x = x(x − ١) فـDg = R − {٠, ١}. المجال المشترك R − {٠, ١}. وفيه g(x) = ٣x ÷ (x(x − ١)) = ٣ ÷ (x − ١) = f(x). لكن ٠ في Df وليست في Dg: f(٠) = −٣ موجودة وg(٠) غير موجودة. إذن f ≠ g.
حل f(x) = g(x) حيث f(x) = (x + ٤) ÷ (x − ٢) وg(x) = (٢x + ٣) ÷ (x − ٢). المجال المشترك R − {٢}. المقام نفسه فيكون x + ٤ = ٢x + ٣ وx = ١ وهي في المجال. تحقق: f(١) = ٥ ÷ (−١) = −٥ وg(١) = ٥ ÷ (−١) = −٥ ✓. مجموعة الحل {١}.
انظر إلى الجدول للدالتين f(x) = ٣ ÷ (x − ١) وg(x) = ٣x ÷ (x² − x). عند x = ٠ لا قيمة إلا لـf، وعند x = ١ لا قيمة لأي منهما، وفي بقية الأماكن يتفق الصفان. وهذا بالضبط المقصود: متساويتان على المجال المشترك لكنهما ليستا الدالة نفسها.
Class activity
اكتشف الخطأ. قال طالب: «للدالتين f(x) = x ÷ (x² − ٢x) وg(x) = ١ ÷ (x − ٢) أبسط قاعدة واحدة، إذن f = g.» أوجد مجال كل منهما ووضّح ماذا نسي الطالب. وعلى أي مجموعة تتفقان؟
Practice
1
أثبت أن f(x) = g(x) على المجال المشترك للدالتين f(x) = (x² − ١) ÷ (x² − x) وg(x) = (x + ١) ÷ x. وبيّن هل f = g.
Df = R − {٠, ١} وDg = R − {٠}. على R − {٠, ١}: f(x) = (x − ١)(x + ١) ÷ (x(x − ١)) = (x + ١) ÷ x = g(x). لكن g(١) = ٢ موجودة وf(١) غير موجودة، إذن f ≠ g.
2
حل f(x) = g(x) حيث f(x) = x ÷ (x − ٣) وg(x) = ٣ ÷ (x − ٣).
المجال المشترك R − {٣}. نحصل على x = ٣ وليست في المجال. مجموعة الحل ∅.
3
حل f(x) = g(x) حيث f(x) = ٢x ÷ (x + ١) وg(x) = ٦ ÷ (x + ١).
المجال المشترك R − {−١}. ٢x = ٦ فيكون x = ٣ وهي في المجال. تحقق: ٦ ÷ ٤ = ٦ ÷ ٤ ✓. مجموعة الحل {٣}.
4
عند أي x تختلف f(x) = (x² − ٤) ÷ (x − ٢) عن g(x) = x + ٢؟
عند x = ٢ فقط: f(٢) غير معرّفة وg(٢) = ٤. وفي كل مكان آخر تتفقان.
5
هل f(x) = ٥ وg(x) = ٥x ÷ x متساويتان على المجال المشترك؟ وهل هما الدالة نفسها؟
المجال المشترك R − {٠} وفيه g(x) = ٥ فتتفقان عليه. وليستا الدالة نفسها: Df = R وDg = R − {٠}.