3
المستقيمان المتعامدان حاصل ضرب ميليهما −١: زوايا قائمة ومتوازيات أضلاع ومستطيلات
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 3, Lesson 6
Goalأستخدم m₁ × m₂ = −١ لإثبات الزوايا القائمة والمستطيلات.
New words
متعامدان · يتقابلان بزاوية قائمةالمقلوب السالب · نقلب الكسر ونغير الإشارةالمستطيل · متوازي أضلاع زواياه الأربع قائمةزاوية قائمة عند B · ضلعا الزاوية عند B متعامدان
Explanation
مستقيمان (لا رأسي ولا أفقي منهما) متعامدان تمامًا عندما m₁ × m₂ = −١. فميل العمودي هو المقلوب السالب: ٢ يصبح −١/٢ و−٢/٣ يصبح ٣/٢. مثلًا المستقيم المار بـ(٠, ٠) و(٤, ٢) ميله ١/٢ والمار بـ(٤, ٢) و(٢, ٦) ميله (٦ − ٢)/(٢ − ٤) = −٢. وبما أن (١/٢) × (−٢) = −١ فهما يتقابلان بزاوية قائمة عند (٤, ٢). ولإثبات أن الشكل مستطيل نبيّن أنه متوازي أضلاع (ميلا الضلعين المتقابلين متساويان) وأن حاصل ضرب ميلي ضلعين متجاورين −١. والمستقيم الأفقي عمودي على الرأسي دون الحاجة لحاصل ضرب.
Worked examples
هل الزاوية عند B قائمة في المثلث A(١, ١) وB(٥, ٣) وC(٣, ٧)؟ ميل AB = ٢/٤ = ١/٢ وميل BC = (٧ − ٣)/(٣ − ٥) = −٢. حاصل الضرب −١ فـ∠B = ٩٠°.
أثبت أن ABCD حيث A(٠, ٠) وB(٤, ٢) وC(٢, ٦) وD(−٢, ٤) مستطيل. ميل AB وDC هو ١/٢؛ وميل BC وAD هو −٢. فهو متوازي أضلاع، و(١/٢)(−٢) = −١ تعطي زاوية قائمة عند B. (وهو في الحقيقة مربع لأن AB = BC = √٢٠.)
مستقيم ميله −٢/٣. ميل المستقيم العمودي عليه ٣/٢ لأن (−٢/٣)(٣/٢) = −١.
Class activity
اختبار المثلث. ارسم على ورق مربعات مستقيمًا ميله ١/٢، وضع مثلث رسم عند نقطة عليه. ارسم العمودي واقرأ ميله. هل حصلت على −٢؟
Practice
1
أوجد ميل المستقيم العمودي على مستقيم ميله ٥.
−١/٥.
2
أوجد ميل العمودي على المستقيم المار بـ(١, ٢) و(٤, ٠).
الميل −٢/٣ فالعمودي ميله ٣/٢.
3
هل المستقيمان اللذان ميلاهما ٣/٤ و−٤/٣ متعامدان؟
(٣/٤)(−٤/٣) = −١: نعم.
4
بيّن أن المثلث A(٠, ٠) وB(٢, ١) وC(−١, ٢) فيه زاوية قائمة عند A.
ميل AB = ١/٢ وميل AC = −٢ وحاصل الضرب −١.
5
ما ميل المستقيم المار بـ(−١, ٢) و(٣, −٦) وما ميل العمودي عليه؟
m = −٨/٤ = −٢؛ العمودي ١/٢.