2
الزاويتان الحادتان: الزاويتان المتتامتان و tan θ = sin θ ÷ cos θ
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 3, Lesson 4
Goalأستخدم الزاويتين الحادتين في مثلث قائم واحد لربط الجيب وجيب التمام، وأستخدم tan θ = sin θ ÷ cos θ.
New words
الزاويتان المتتامتان · زاويتان مجموعهما ٩٠°sin θ = cos β · عندما θ + β = ٩٠° يكون جيب إحداهما جيب تمام الأخرىtan θ = sin θ ÷ cos θ · الظل هو نسبة الجيب إلى جيب التمامsin²θ · تعني (sin θ)²: مربع الجيب
Explanation
الزاويتان الحادتان في المثلث القائم مجموعهما ٩٠° فهما متتامتان: θ + β = ٩٠°. الضلع المقابل لـθ هو المجاور لـβ والعكس. لذلك sin θ = cos β وcos θ = sin β، والظلان مقلوبان: tan θ × tan β = ١. في المثلث ٥-١٢-١٣ حيث θ تقابل ٥: sin θ = ٥/١٣ = cos β وcos θ = ١٢/١٣ = sin β وtan θ = ٥/١٢ وtan β = ١٢/٥. وهناك علاقة أخرى. نقسم النسبتين: sin θ ÷ cos θ = (المقابل ÷ الوتر) ÷ (المجاور ÷ الوتر) = المقابل ÷ المجاور. إذن tan θ = sin θ ÷ cos θ. وأخيرًا، بنظرية فيثاغورث sin²θ + cos²θ = ١ لأن (المقابل² + المجاور²) ÷ الوتر² = ١.
| للزاوية θ | للزاوية β | |
|---|---|---|
| sin | ٥/١٣ | ١٢/١٣ |
| cos | ١٢/١٣ | ٥/١٣ |
| tan | ٥/١٢ | ١٢/٥ |
Worked examples
في المثلث القائم ٨-١٥-١٧ الزاوية θ تقابل ٨. بيّن أن tan θ = sin θ ÷ cos θ. sin θ = ٨/١٧ وcos θ = ١٥/١٧ وtan θ = ٨/١٥. (٨/١٧) ÷ (١٥/١٧) = ٨/١٧ × ١٧/١٥ = ٨/١٥ ✓. وللزاوية الحادة الأخرى β: sin β = ١٥/١٧ = cos θ.
إذا كان sin θ = ٣/٥ فأوجد cos β حيث θ + β = ٩٠°. cos β = sin θ = ٣/٥ لأن الزاويتين متتامتان. تحقق: في المثلث ٣-٤-٥ حيث θ تقابل ٣، الضلع المجاور لـβ هو ٣ أيضًا فـcos β = ٣/٥.
في مثلث ABC فيه ∠B = ٩٠° أثبت أن sin²A + sin²C = ١. sin A = BC ÷ AC وsin C = AB ÷ AC. إذن sin²A + sin²C = (BC² + AB²) ÷ AC² = AC² ÷ AC² = ١ بنظرية فيثاغورث.
Class activity
بدّل الزاوية. على مثلث ٣-٤-٥ مقصوص من الكرتون علّم الزاويتين الحادتين θ وβ. اكتب النسب الست (sin وcos وtan لكل زاوية). أي أزواج النسب متساوية؟ وأي زوج حاصل ضربه ١؟
Practice
1
في المثلث ٩-٤٠-٤١ الزاوية θ تقابل ٩. أوجد sin θ وcos β للزاوية الحادة الأخرى β.
sin θ = ٩/٤١ وcos β = ٩/٤١ (متساويتان لأن الزاويتين متتامتان).
2
θ + β = ٩٠° وsin θ = ٠٫٦. ما cos β؟
cos β = ٠٫٦.
3
tan θ = ٢/٣ وθ + β = ٩٠°. أوجد tan β.
tan β = ٣/٢ لأن tan θ × tan β = ١.
4
تحقق من tan θ = sin θ ÷ cos θ في المثلث ٣-٤-٥ للزاوية المقابلة لـ٣.
(٣/٥) ÷ (٤/٥) = ٣/٤ = tan θ ✓
5
في المثلث ABC و∠B = ٩٠° أثبت أن tan A × tan C = ١.
tan A = BC ÷ AB وtan C = AB ÷ BC فحاصل الضرب ١.