الأسبوع 1 · Powers of powers and exponential equations: the laws of exponents for real bases and integer exponents, and equations of the form a^x = b · 3 دروس
3
المعادلات الأسية: الأساس نفسه، وتوحيد الأساسين، والتحقق، والمسائل الكلامية
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 1, Lessons 1–2
Goalأحل معادلات من الصورة aˣ = b بكتابة الطرفين بالأساس نفسه ومساواة الأسس، وأتحقق من الإجابة.
New words
المعادلة الأسية · معادلة يكون المجهول فيها في الأس، مثل ٣ˣ = ٨١خاصية تساوي الأسس · إذا كان a > ٠ وa ≠ ١ وكان aˣ = aʸ فإن x = yالتحليل إلى عوامل أولية · كتابة العدد حاصل ضرب أعداد أولية، مثل ٨١ = ٣⁴التحقق بالتعويض · وضع الحل في المعادلة للتأكد من تساوي الطرفين
Explanation
في المعادلة الأسية يكون المجهول في الأس. والفكرة الأساسية: إذا كان الأساس موجبًا ولا يساوي ١ فإن الأسس المختلفة تعطي نتائج مختلفة (٢¹ = ٢ و٢² = ٤ و٢³ = ٨ …)، فإذا كان aˣ = aʸ فإن x = y. ونشترط a > ٠ وa ≠ ١ لأن ١ˣ = ١ لكل x فلا نعرف شيئًا عن x، ولأن الأساس السالب تتغير إشارة قوته من قوة إلى أخرى. الخطة: (١) نكتب كل عدد على صورة قوة لعدد أولي صغير، مثل ٨١ = ٣⁴ و١٢٥ = ٥³ و٣٢ = ٢⁵ و١ ÷ ٩ = ٣⁻²؛ (٢) نستخدم القوانين لنجعل كل طرف قوة واحدة للأساس نفسه؛ (٣) نساوي الأسس ونحل المعادلة العادية؛ (٤) نتحقق بالتعويض. أما المعادلتان ٢ˣ = ٠ و٣ˣ = −٩ فلا حل لهما، لأن الأساس الموجب لا يعطي صفرًا ولا عددًا سالبًا.
حل (٢/٣)ˣ = ٩/٤. بما أن ٩/٤ = (٣/٢)² وأن ٣/٢ مقلوب ٢/٣ فإن ٩/٤ = (٢/٣)⁻². إذن (٢/٣)ˣ = (٢/٣)⁻² وx = −٢. تحقق: (٢/٣)⁻² = (٣/٢)² = ٩/٤ ✓
Class activity
طيّات الورقة. اطْوِ ورقة إلى نصفين مرة بعد مرة، وعدّ الطبقات بعد كل طية: ٢ و٤ و٨ و١٦. حل ٢ⁿ = ١٦ وقارن بما حصلت عليه. ثم فسّر لماذا لا يوجد حل للمعادلة ٢ⁿ = ٠.
