الأسبوع 4 · Regression: predicting y from x, simple linear regression y = a + bx and the least squares method · 3 دروس
2
أفضل خط مستقيم: أخطاء النقاط عن الخط وفكرة المربعات الصغرى
Statistics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 2
Goalأقيس الأخطاء بين النقاط وبين خط، وأشرح لماذا يجعل أفضل خط مجموع مربعات الأخطاء أصغر ما يمكن.
New words
الخطأ (الفرق) · المسافة الرأسية y − ŷ بين النقطة والخطŷ · قيمة y التي يعطيها الخط عند قيمة x هذهالمربعات الصغرى · نختار a و b بحيث يكون Σ(y − ŷ)² أصغر ما يمكن
Explanation
نستطيع أن نرسم بين نقاط السحابة خطوطًا مستقيمة كثيرة، ونريد أفضلها. فلكل نقطة خطأ هو الفرق الرأسي بين النقطة والخط y − ŷ، حيث y القيمة المرصودة وŷ قيمة الخط عند x نفسها. والنقطة التي فوق الخط فرقها موجب والتي تحته فرقها سالب. ولا نكتفي بجمع الفروق لأن الموجبة والسالبة تلغي بعضها وقد يكون مجموعها صفرًا لخط سيئ جدًّا. فنربّع الفروق، فيصبح كل فرق موجبًا ويزداد عقاب الفروق الكبيرة، ثم نجمع: Σ(y − ŷ)². وتختار طريقة المربعات الصغرى الخط الذي يكون مجموعه أصغر ما يمكن. (والعثور عليه بدقة يحتاج إلى التفاضل؛ وفي الدرس القادم نستعمل نتيجته.) ويبيّن الشكل خمسة تلاميذ: أسابيع التدريب x ومسافة الرمي y بالأمتار. والقطع الرأسية القصيرة هي الفروق عن الخط ŷ = ٢٫٩ + ١٫٣x؛ ومجموع مربعاتها ٦٫٤ ولا يوجد خط مستقيم آخر أفضل منه.
Worked examples
x
y
ŷ
y − ŷ
(y − ŷ)²
3
8
6.8
1.2
1.44
5
8
9.4
−1.4
1.96
7
11
12.0
−1.0
1.00
9
16
14.6
1.4
1.96
11
17
17.2
−0.2
0.04
Σ = 0
Σ = 6.4
فروق الخط ŷ = ٢٫٩ + ١٫٣x. عند x = ٣ يعطي الخط ٦٫٨ والتلميذ رمى ٨ فالفرق ١٫٢؛ والفروق الأخرى −١٫٤ و−١ و١٫٤ و−٠٫٢. ومربعاتها ١٫٤٤ و١٫٩٦ و١ و١٫٩٦ و٠٫٠٤ ومجموعها ٦٫٤. أما الفروق نفسها فمجموعها صفر.
لماذا نربّع؟ الخط ŷ = ٤ + x مجموع فروقه ٥، لكن خطًّا سيئًا آخر قد تكون فروقه +٣ و−٣ ومجموعها صفر. أما المربعات فتعطي ٩ + ٩ = ١٨ وتكشفه. ولا يلزم أن يمر أفضل خط بأي نقطة؛ وهنا لا يمر بأي نقطة من النقاط الخمس.
Class activity
ارسم على ورق مربعات النقاط الخمس (٣, ٨) و(٥, ٨) و(٧, ١١) و(٩, ١٦) و(١١, ١٧). ضع المسطرة حيث تظن أن أفضل خط، واقرأ الفروق الخمسة. ثم افعل ذلك بالمسطرة وبميل مختلف. أيّ المجموعين لمربعات الفروق أصغر؟
