الأسبوع 1 · Correlation: direct and inverse relations between two variables, scatter diagrams and the scale of the correlation coefficient r from −1 to 1 · 3 دروس
3
معامل الارتباط r: المقياس من −1 إلى 1، والارتباط التام والقوي والضعيف والمنعدم، والمقارنة بين المعاملات بالقيمة المطلقة
Statistics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 1
Goalأقرأ معامل الارتباط r على مقياسه من −١ إلى ١، وأقارن بين المعاملات بقيمها المطلقة دون النظر إلى الإشارة.
New words
معامل الارتباط r · عدد من −١ إلى ١ يقيس العلاقة الخطيةارتباط تام · r = ١ أو r = −١: كل النقاط على خط مستقيم واحدالقوة · قيمة r دون إشارتها، أي |r|
Explanation
ننظر إلى سحابة النقاط فيراها شخصان بشكلين مختلفين، ولذلك نقيس. معامل الارتباط r عدد واحد يحقق −١ ≤ r ≤ ١. تدل إشارته على النوع: موجبة للارتباط الطردي وسالبة للارتباط العكسي، وتدل قيمته على القوة. فإذا كان r = ١ وقعت كل النقاط على خط مستقيم واحد صاعد (ارتباط طردي تام)، وإذا كان r = −١ فعلى خط واحد هابط (ارتباط عكسي تام)، وإذا كان r = ٠ فلا يوجد ارتباط خطي. وكلما اقتربت r من ١ أو من −١ كان الارتباط أقوى، وكلما اقتربت من ٠ كان أضعف. وللمقارنة بين معاملين نقارن قيمتيهما دون إشارتيهما: فـ r = −٠٫٩ أقوى من r = ٠٫٧ لأن ٠٫٩ > ٠٫٧. وقيمة مثل ١٫٣ أو −١٫٢ مستحيلة وتدل على خطأ حسابي. وأخيرًا فإن r تقيس العلاقات الخطية فقط: فمساحة المربع تساوي طول ضلعه مضروبًا في نفسه تمامًا، ومع ذلك فإن النقاط للأضلاع من ١ إلى ٦ تقع على منحنى وقيمة r نحو ٠٫٩٨ لا ١. وفي الأسبوع القادم نتعلم كيف تُحسب r.
Worked examples
لمجموعات البيانات الثلاث في الدرس السابق: r ≈ ٠٫٩٧ للمجموعة A (المراجعة والدرجة)، وr ≈ −٠٫٨٧ للمجموعة B (الارتفاع والحرارة)، وr ≈ −٠٫٠٤ للمجموعة C (رقم المقعد والدرجة)، وقد حُسبت بالقانون. A ارتباط طردي قوي، و B ارتباط عكسي قوي (قيمته ٠٫٨٧ أقل من ٠٫٩٧ فهو أضعف قليلًا)، و C منعدم تقريبًا.
أيّ القيم الآتية أقوى: ٠٫٦٢، −٠٫٧٨، ٠٫١٥، −٠٫٣١؟ نقارن القيم دون إشارات: ٠٫٦٢ و٠٫٧٨ و٠٫١٥ و٠٫٣١. أكبرها ٠٫٧٨ فالأقوى −٠٫٧٨ (وهو عكسي). وأيها أقوى ارتباط عكسي بين ٠٫٢، −٠٫٤٥، −٠٫٩، ٠٫٩٥؟ العكسي يعني سالبًا، فلا يصلح إلا −٠٫٤٥ و−٠٫٩، والجواب −٠٫٩ مع أن ٠٫٩٥ أقوى في المجمل.
مربع طول ضلعه x ومساحته x². للقيم x = ١، ٢، …، ٦ تكون المساحات ١، ٤، ٩، ١٦، ٢٥، ٣٦. العلاقة دقيقة وتزايدية، لكن النقاط تقع على منحنى، فيعطي المقياس الخطي r ≈ ٠٫٩٨ لا ١.
Class activity
قصّ سبع شرائط ورقية واكتب عليها −١ و−٠٫٦ و−٠٫٢ و٠ و٠٫٣ و٠٫٧ و١. رتّبها على الطاولة مثل المقياس، ثم اختر شريطين وقل أيهما يدل على ارتباط أقوى وأيهما طردي أو عكسي.
Practice
1
أيهما يدل على ارتباط أقوى: r = ٠٫٩ أم r = −٠٫٩٥؟
r = −٠٫٩٥ لأن ٠٫٩٥ > ٠٫٩.
2
يذكر تلميذ أن r = ١٫٢ لمتغيرين. ماذا تقول له؟
هذا مستحيل لأن r تقع دائمًا بين −١ و١: لقد أخطأ في الحساب.
3
نقاط شكل ما تقع تقريبًا على خط هابط تمامًا. أي قيمة لـ r أرجح: −٠٫٩٧ أم −٠٫١ أم ٠٫٥؟
−٠٫٩٧: ارتباط عكسي قوي.
4
وجد أحمد r = ٠٫٨ لساعات المراجعة والدرجات، ووجدت منى r = −٠٫٨ للارتفاع والحرارة. هل لهما القوة نفسها؟ والنوع نفسه؟
القوة نفسها (القيمتان المطلقتان ٠٫٨) لكن النوع مختلف: ارتباط أحمد طردي وارتباط منى عكسي.
5
يقول تلميذ إن r = ٠٫٦ تعني أن ٦٠٪ من النقاط تقع على الخط. هل هو على صواب؟
لا. r ليست نسبة مئوية من النقاط، بل تقيس مدى اقتراب النقاط من خط مستقيم؛ وقد لا تقع أي نقطة تمامًا على الخط حين r = ٠٫٦.
