الأسبوع 9 · Parallel lines and proportional parts: the triangle proportionality theorem, its converse and Thales' theorem · 3 دروس
2
العكس: إثبات أن مستقيمًا يوازي ضلعًا من تساوي النسب وبراهين تستخدم عدة مثلثات
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 3, Lesson 1
Goalأثبت أن مستقيمًا يوازي ضلعًا بفحص تساوي نسبتين.
New words
العكس · النظرية مقروءة بالعكس: تساوي النسب يعطي التوازيالقطعة المنصِّفة · القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث
Explanation
العكس: إذا كانت D على AB وE على AC وكان AD/DB = AE/EC فإن DE ∥ BC. البرهان: نضيف ١ إلى الطرفين فنحصل على AB/DB = AC/EC ثم AD/AB = AE/AC. الزاوية A مشتركة فإن △ADE ~ △ABC بـ SAS. إذن ∠ADE = ∠ABC وهما متناظرتان فيكون DE ∥ BC. وللاختبار نحسب النسبتين ونقارن بينهما؛ ويجب أن تقارن كلتاهما القطع على جانب واحد من الرأس مثل AD/DB وAE/EC (القطعة العليا إلى السفلى على كل ضلع). أما خلط AD/DB مع AE/AC فلا يثبت شيئًا. وحالة خاصة: إذا كانت D وE منتصفين فالنسبتان ١ فيكون DE ∥ BC وDE = BC/٢ (نظرية القطعة المنصِّفة). والمتوازيات تنقل النسبة من مثلث إلى المثلث التالي فنتتبع سلسلة مستقيمات متوازية داخل شكل رباعي.
النسبتان اللتان تحسبهما
الاستنتاج
AD/DB = AE/EC (متساويتان)
DE ∥ BC
AD/DB ≠ AE/EC
DE لا توازي BC
AD/DB مقارنة بـ AE/AC
لا تثبت شيئًا: قطع من نوعين مختلفين
Worked examples
في △ABC الزاوية عند A قائمة وD على AB وAD = ٦ وDB = ٩ وE على AC وAE = ٨ وEC = ١٢. AD/DB = ٦/٩ = ٢/٣ وAE/EC = ٨/١٢ = ٢/٣ فإن DE ∥ BC. وأيضًا DE = ١٠ (مثلث قائم ٦-٨-١٠) وDE/BC = AD/AB = ٦/١٥ = ٢/٥ فإن BC = ٢٥ سم.
AD = ٤ وDB = ٦ وAE = ٥ وEC = ٨. AD/DB = ٢/٣ لكن AE/EC = ٥/٨. النسبتان مختلفتان فإن DE لا يوازي BC.
في الشكل الرباعي ABCD النقطة X على AB وY على AC وZ على AD وXY ∥ BC وYZ ∥ CD. من △ABC: AX/XB = AY/YC. ومن △ACD: AY/YC = AZ/ZD. فإن AX/XB = AZ/ZD وبالعكس XZ ∥ BD. وإذا كان AX/XB = ٢/٣ وAZ = ٦ فإن ZD = ٩.
Class activity
اختبر بالمسطرة. ارسم مثلثًا ABC وعيّن D على AB وE على AC وقس AD وDB وAE وEC واحسب النسبتين. ثم ارسم DE وتحقق بمثلثي الرسم هل DE ∥ BC.
