2
تكوين المعادلة x² − (L + M)x + LM = ٠ من جذرين معلومين حقيقيين أو مركبين
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 1, Lesson 3
Goalأكتب المعادلة التربيعية التي يُعطى جذراها.
New words
تكوين معادلة · كتابة معادلة جذراها العددان المعطيانالمقام المشترك · عدد نضرب به لنتخلص من كل الكسور في المعادلة
Explanation
إذا كان L وM جذري المعادلة فإن (x − L)(x − M) = ٠. وبالفك نحصل على x² − (L + M)x + LM = ٠. فنحتاج فقط إلى مجموع الجذرين المعطيين وحاصل ضربهما: نطرح المجموع أمام x ونضيف حاصل الضرب في آخر المعادلة. وإذا كان الجذران كسرين كان المجموع وحاصل الضرب كسرين أيضًا فنضرب المعادلة كلها في مقام مشترك لنحصل على معاملات صحيحة. وللجذور المركبة نبسّط أولًا: فالجذر ٦/(١ + i) يصير ٣ − ٣i بطريقة المرافق. ثم نجمع ونضرب كالمعتاد. والجذران المترافقان p ± qi يعطيان دائمًا x² − ٢px + (p² + q²) = ٠ بمعاملات حقيقية.
ƒFormula
x² − (L + M)x + L × M = 0
ناقص المجموع، زائد حاصل الضرب
Worked examples
الجذران ٥ و−٢. المجموع ٣ وحاصل الضرب −١٠. المعادلة x² − ٣x − ١٠ = ٠. للتحقق: (x − ٥)(x + ٢) = x² − ٣x − ١٠ ✓.
الجذران ٢/٣ و٣/٤. المجموع ٨/١٢ + ٩/١٢ = ١٧/١٢ وحاصل الضرب ٦/١٢ = ١/٢. المعادلة x² − (١٧/١٢)x + ١/٢ = ٠. نضرب في ١٢: ١٢x² − ١٧x + ٦ = ٠.
الجذران ٦/(١ + i) و٦/(١ − i). نبسّط: ٦/(١ + i) = ٦(١ − i)/٢ = ٣ − ٣i و٦/(١ − i) = ٣ + ٣i. المجموع ٦ وحاصل الضرب ٩ + ٩ = ١٨. المعادلة x² − ٦x + ١٨ = ٠. ومميزها ٣٦ − ٧٢ < ٠ يؤكد أن الجذرين مركبان.
الجذران ٢ + √٣ و٢ − √٣. المجموع ٤ وحاصل الضرب ٤ − ٣ = ١. المعادلة x² − ٤x + ١ = ٠.
Class activity
ذهابًا وإيابًا. كوّن المعادلة التي جذراها ٣ و٤. ثم حلها وتأكد أنك تحصل على ٣ و٤ من جديد.
Practice
1
كوّن المعادلة التي جذراها ٤ و−١.
المجموع ٣ وحاصل الضرب −٤: x² − ٣x − ٤ = ٠.
2
كوّن المعادلة التي جذراها −١/٢ و٥.
المجموع ٩/٢ وحاصل الضرب −٥/٢: x² − (٩/٢)x − ٥/٢ = ٠ أي ٢x² − ٩x − ٥ = ٠.
3
كوّن المعادلة التي جذراها ٣ + ٢i و٣ − ٢i.
المجموع ٦ وحاصل الضرب ٩ + ٤ = ١٣: x² − ٦x + ١٣ = ٠.
4
كوّن المعادلة التي جذراها ٣√٢ و−√٢.
المجموع ٢√٢ وحاصل الضرب −٣ × ٢ = −٦: x² − ٢√٢ x − ٦ = ٠.
5
كوّن المعادلة التي جذراها ٣i و−٣i.
المجموع ٠ وحاصل الضرب −٩i² = ٩: x² + ٩ = ٠.