3
الحل العام للمعادلات sin α = cos β وsec α = csc β وtan α = cot β
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 4, Lesson 4
Goalأحل معادلات تساوي دالة بمتممتها.
New words
الحل العام · جميع الحلول مكتوبة بعدد صحيح nمعادلة الدوال المتممة · معادلة مثل sin α = cos β
Explanation
بما أن sin α = cos(٩٠° − α) فالمعادلة sin α = cos β تعني أن لـ β و٩٠° − α جيب التمام نفسه. وللزوايا الحادة هذا يعني β = ٩٠° − α أي α + β = ٩٠°. وبالتفكير نفسه نحصل على α + β = ٩٠° في sec α = csc β وفي tan α = cot β. وإذا لم تكن الزاويتان حادتين ظهرت حلول أخرى لأن cos يتساوى أيضًا في زوايا على الجهة الأخرى من محور x وكل ٣٦٠° (وكل ١٨٠° في tan). ويبيّن الجدول الحل العام. وفي التمرين نحل α + β = ٩٠° أولًا ثم نتحقق بالتعويض ونُبقي فقط الحلول داخل الفترة المعطاة.
| المعادلة | الزوايا الحادة | بوجه عام (n عدد صحيح) |
|---|---|---|
| sin α = cos β | α + β = ٩٠° | α + β = ٩٠° + ٣٦٠°n أو α − β = ٩٠° + ٣٦٠°n |
| sec α = csc β | α + β = ٩٠° | α + β = ٩٠° + ٣٦٠°n أو β − α = ٩٠° + ٣٦٠°n |
| tan α = cot β | α + β = ٩٠° | α + β = ٩٠° + ١٨٠°n |
Worked examples
حل sin ٢x = cos(x + ٣٠°) حيث x حادة (x < ٤٥°). ٢x + (x + ٣٠°) = ٩٠° و٣x = ٦٠° وx = ٢٠°. تحقق: sin ٤٠° = cos ٥٠° ✓.
حل tan ٣x = cot x حيث ٣x حادة. ٣x + x = ٩٠° وx = ٢٢٫٥°. تحقق: tan ٦٧٫٥° = cot ٢٢٫٥° ✓.
حل sec ٤x = csc(x + ١٠°) حيث x حادة. ٤x + (x + ١٠°) = ٩٠° و٥x = ٨٠° وx = ١٦°. تحقق: sec ٦٤° = csc ٢٦° ✓.
Class activity
أزواج مجموعها ٩٠. اكتب ٦ أزواج من الزوايا الحادة مجموع كل زوج ٩٠°. تحقق بالآلة الحاسبة أن sin إحداهما يساوي cos الأخرى وأن tan إحداهما يساوي cot الأخرى.
Practice
1
حل sin ٣x = cos ٢x حيث الزاويتان حادتان.
٣x + ٢x = ٩٠° وx = ١٨°.
2
حل tan(x + ١٠°) = cot(٢x + ٢٠°) بزوايا حادة.
(x + ١٠°) + (٢x + ٢٠°) = ٩٠° و٣x = ٦٠° وx = ٢٠°.
3
حل sec ٥x = csc(x + ٦°) بزوايا حادة.
٥x + x + ٦° = ٩٠° و٦x = ٨٤° وx = ١٤°.
4
إذا كان sin α = cos β فماذا تعرف عن α + β لزوايا حادة؟
α + β = ٩٠°.
5
هل sin ٧٥° = cos ١٥°؟ علل.
نعم: ٧٥° + ١٥° = ٩٠°.