2
إيجاد مجموعة الأصفار بحل المعادلة f(x) = ٠ بالتحليل
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 2, Lesson 2
Goalأوجد مجموعة الأصفار الحقيقية لدالة كثيرة حدود بالتحليل، ومنها الحالات التي لا أصفار فيها.
New words
مجموعة الأصفار · كل الأعداد الحقيقية x التي يكون عندها f(x) = ٠، وتُكتب بين قوسين مجموعةالمجموعة الخالية · مجموعة لا عناصر لها، وتُستخدم عند عدم وجود صفر حقيقي ∅عامل مشترك · عامل تشترك فيه جميع الحدود، مثل x في x³ − ٩xخاصية الضرب الصفري · إذا كان A × B = ٠ فإن A = ٠ أو B = ٠
Explanation
لإيجاد أصفار f نحل المعادلة f(x) = ٠. نُخرج العامل المشترك إن وُجد، ثم نحلل ما بقي، ثم نساوي كل عامل بالصفر (إذا كان A × B = ٠ فإن A = ٠ أو B = ٠). لا تقسم المعادلة على x أبدًا: فهذا يضيّع الصفر x = ٠. وبعض كثيرات الحدود ليس لها أصفار حقيقية. المربع لا يكون سالبًا، فالمقدار x² + ٤ أكبر من أو يساوي ٤ دائمًا، إذن ٥x² + ٢٠ = ٠ لا حل لها ومجموعة أصفارها ∅ (وليست {٠}). وكذلك x³ − ٨ = ٠ لها صفر حقيقي واحد هو x = ٢ لأن x³ − ٨ = (x − ٢)(x² + ٢x + ٤) وx² + ٢x + ٤ = (x + ١)² + ٣ لا تساوي صفرًا أبدًا. نكتب الإجابة على صورة مجموعة، مثل {−٥, ٢}.
| f(x) | بعد التحليل | مجموعة الأصفار |
|---|---|---|
| ٢x − ١٠ | ٢(x − ٥) | {٥} |
| x² − ٤٩ | (x − ٧)(x + ٧) | {−٧, ٧} |
| x² + ٣x − ١٠ | (x + ٥)(x − ٢) | {−٥, ٢} |
| x³ − ٩x | x(x − ٣)(x + ٣) | {−٣, ٠, ٣} |
| ٥x² + ٢٠ | ٥(x² + ٤) | ∅ |
Worked examples
أوجد أصفار f(x) = x² + ٣x − ١٠. نحل x² + ٣x − ١٠ = ٠. نبحث عن عددين حاصل ضربهما −١٠ ومجموعهما ٣: هما ٥ و−٢. إذن (x + ٥)(x − ٢) = ٠ فيكون x = −٥ أو x = ٢. مجموعة الأصفار {−٥, ٢}. تحقق: f(٢) = ٤ + ٦ − ١٠ = ٠ وf(−٥) = ٢٥ − ١٥ − ١٠ = ٠.
أوجد أصفار f(x) = x³ − ٩x. نُخرج x: x(x² − ٩) = x(x − ٣)(x + ٣) = ٠. إذن x = ٠ أو x = ٣ أو x = −٣. المجموعة {−٣, ٠, ٣}. لو قسمنا على x لوجدنا ±٣ فقط ولضاع الصفر ٠.
أوجد أصفار ٥x² + ٢٠ وx³ − ٨. ٥x² + ٢٠ = ٥(x² + ٤) وx² + ٤ لا تقل عن ٤، فلا صفر حقيقيًا: ∅. وx³ − ٨ = (x − ٢)(x² + ٢x + ٤) والعامل الثاني لا يساوي صفرًا أبدًا، فالصفر الوحيد ٢: {٢}.
Class activity
اكتشف الخطأ. صديق حلّ x³ − ٩x = ٠ بقسمة الطرفين على x فوجد {−٣, ٣}. جرّب x = ٠ في المعادلة الأصلية. ما الخطأ وما المجموعة الصحيحة؟
Practice
1
أوجد مجموعة أصفار ٢x − ١٠.
٢x = ١٠ إذن {٥}.
2
أوجد مجموعة أصفار x² − ٤٩.
(x − ٧)(x + ٧) = ٠ إذن {−٧, ٧}.
3
أوجد مجموعة أصفار x² − ٣x − ١٠.
(x − ٥)(x + ٢) = ٠ إذن {−٢, ٥}.
4
أوجد مجموعة أصفار x³ + ٤x² − ٥x.
x(x² + ٤x − ٥) = x(x + ٥)(x − ١) = ٠ إذن {−٥, ٠, ١}.
5
أوجد مجموعة أصفار x² + ٩.
x² ≥ ٠ إذن x² + ٩ ≥ ٩ ولا تساوي صفرًا أبدًا. المجموعة ∅.