الأسبوع 14 · Independent and dependent events: the test P(A ∩ B) = P(A) × P(B), drawing with and without replacement, and independent against mutually exclusive · 3 دروس
3
الأحداث غير المستقلة والسحب بدون إرجاع، والاستقلال مقابل التنافي، وإكمالات الأحداث المستقلة
Statistics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 3
Goalأتعامل مع الأحداث غير المستقلة والسحب بدون إرجاع، وأميّز المستقلة من المتنافية، وأرى أن مكمّلات الأحداث المستقلة مستقلة.
New words
سحبات غير مستقلة · سحبات بدون إرجاع: السحب الأول يغيّر محتوى الكيسمتنافية ومستقلة · فكرتان مختلفتان: A ∩ B = ∅ مقابل P(A ∩ B) = P(A)P(B)المكمّلات · إذا كان A و B مستقلين فكذلك A′ و B′
Explanation
في الأحداث غير المستقلة تبقى قاعدة الضرب صحيحة لكن باحتمال شرطي: P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A). والسحب بدون إرجاع هو الحالة المعتادة. ففي كيس ٥ أقراص حمراء و٢ زرقاء يكون P(حمراوان) = ٥/٧ × ٤/٦ = ١٠/٢١ لأنه بعد سحب قرص أحمر يبقى ٤ حمراء من ٦؛ وكان ٢٥/٤٩ مع الإرجاع. ولا تخلط بين المستقلة والمتنافية. فإذا كان A و B متنافيين واحتمال كل منهما موجبًا فإن P(A ∩ B) = ٠ بينما P(A)P(B) > ٠، فهما غير مستقلين: لأن معرفة وقوع A تخبرك أن B لم يقع. وقطعة النقود مثال واضح، فـ H و T متنافيان وP(H ∩ T) = ٠ ≠ ١/٤. وقد تتقاطع أحداث وهي مستقلة، مثل «زوجي» و«مضاعف للعدد ٣» على حجر نرد. وأخيرًا إذا كان A و B مستقلين فكذلك A′ و B′: P(A′ ∩ B′) = ١ − P(A ∪ B) = ١ − P(A) − P(B) + P(A)P(B) = (١ − P(A))(١ − P(B)).
Worked examples
شجرة ٥ أقراص حمراء و٢ زرقاء بدون إرجاع: حح = ٥/٧ × ٤/٦ = ١٠/٢١؛ حز = ٥/٧ × ٢/٦ = ٥/٢١؛ زح = ٢/٧ × ٥/٦ = ٥/٢١؛ زز = ٢/٧ × ١/٦ = ١/٢١. ومجموعها ١. قرص من كل لون: ١٠/٢١ ≈ ٠٫٤٨ مقابل ٢٠/٤٩ ≈ ٠٫٤١ عند إعادة الأقراص.
الحدثان
P(A ∩ B)
P(A) × P(B)
متنافيان؟
مستقلان؟
قطعة نقود: H و T
0
1/4
نعم
لا
حجر نرد: زوجي وفردي
0
1/4
نعم
لا
حجر نرد: زوجي ومضاعف للعدد ٣
1/6
1/6
لا
نعم
حجر نرد: زوجي ولا يزيد على ٣
1/6
1/4
لا
لا
المستقلة مقابل المتنافية. يصنّف الجدول أربعة أزواج. الزوج «زوجي ومضاعف للعدد ٣» وحده مستقل رغم تقاطع الحدثين؛ والأزواج المتنافية غير مستقلة؛ والزوج الأخير ليس مستقلًا ولا متنافيًا.
المكمّلات. ليكن A و B مستقلين مع P(A) = ٠٫٣ وP(B) = ٠٫٤. إذن P(A ∩ B) = ٠٫١٢ وP(A ∪ B) = ٠٫٣ + ٠٫٤ − ٠٫١٢ = ٠٫٥٨ وP(A′ ∩ B′) = ١ − ٠٫٥٨ = ٠٫٤٢ = ٠٫٧ × ٠٫٦ = P(A′) × P(B′). وكذلك P(A′ ∩ B) = ٠٫٤ − ٠٫١٢ = ٠٫٢٨ = ٠٫٧ × ٠٫٤.
Class activity
ضع ٥ أشياء حمراء و٢ زرقاء في كيس. اسحب شيئين بدون إرجاع، ٢٠ مرة، وعُدّ السحبات التي فيها حمراوان؛ وقارن بـ ١٠/٢١ ≈ ٠٫٤٨. ثم كرّر مع الإرجاع وقارن بـ ٢٥/٤٩ ≈ ٠٫٥١. أي العدّين أقرب إلى توقعه؟ وهل يكون ذلك دائمًا؟
Practice
1
في كيس ٥ أقراص خضراء و٤ صفراء. يُسحب قرصان بدون إرجاع. أوجد احتمال قرصين أخضرين، وقرصين أصفرين، وقرص من كل لون.
GG = ٥/٩ × ٤/٨ = ٥/١٨؛ YY = ٤/٩ × ٣/٨ = ١/٦؛ قرص من كل لون ١ − ٥/١٨ − ٣/١٨ = ١٠/١٨ = ٥/٩.
2
A و B متنافيان، P(A) = ٠٫٤ وP(B) = ٠٫٥. هل هما مستقلان؟ فسّر.
لا. P(A ∩ B) = ٠ لكن P(A) × P(B) = ٠٫٢. فإذا وقع A لا يمكن أن يقع B.
3
A و B مستقلان، P(A) = ٠٫٦ وP(B) = ٠٫٢٥. أوجد P(A′ ∩ B′) وP(A′ ∩ B).
