3
تناسب الأضلاع (SSS) وزاوية متساوية بين ضلعين متناسبين (SAS): إثبات تشابه مثلثين
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 2, Lesson 2
Goalأثبت تشابه مثلثين من أضلاعهما (SSS) أو من ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (SAS).
New words
SSS · الأضلاع المتناظرة الثلاثة متناسبةSAS · ضلعان متناسبان في المثلثين والزاويتان المحصورتان بينهما متساويتانالزاوية المحصورة · الزاوية التي يصنعها الضلعان المستخدمان
Explanation
هناك اختباران آخران غير AA. SSS: إذا كان AB/DE = BC/EF = CA/FD فإن △ABC ~ △DEF وتنتج الزوايا المتساوية. قارن الأقصر بالأقصر والأطول بالأطول. SAS: إذا ساوت زاوية في مثلث زاوية في مثلث آخر وكانت الأضلاع التي تحصر هاتين الزاويتين متناسبة فالمثلثان متشابهان. ويجب أن تقع الزاوية بين الضلعين؛ فضلعان متناسبان وزاوية متساوية غير محصورة بينهما لا تثبت شيئًا. ومن استخدامات SAS: إذا كان AC² = CD × CB فإن AC/CB = CD/AC ومع الزاوية المشتركة C نحصل على △ACD ~ △BCA. وتذكّر أن تسمي الرءوس بترتيب متناظر.
| الاختبار | ما نفحصه |
|---|---|
| SSS | نسب الأضلاع المتناظرة الثلاثة متساوية |
| SAS | نسبتا ضلعين متساويتان والزاويتان المحصورتان بينهما متساويتان |
| AA | زوجان من الزوايا متساويان |
Worked examples
في △ABC AB = ٦ وBC = ٩ وCA = ١٢ وفي △DEF DE = ٨ وEF = ١٢ وFD = ١٦. ٦/٨ = ٩/١٢ = ١٢/١٦ = ٣/٤ فإن △ABC ~ △DEF بـ SSS وk = ٣/٤. وغير متشابهين: الأضلاع ٤, ٦, ٩ و٦, ٩, ١٢ تعطي ٤/٦ = ٦/٩ = ٢/٣ لكن ٩/١٢ = ٣/٤.
D على AB وE على AC في △ABC وAB = ١٢ وAC = ١٨ وAD = ٨ وAE = ١٢. AD/AB = ٨/١٢ = ٢/٣ وAE/AC = ١٢/١٨ = ٢/٣ و∠A مشتركة (بين الضلعين) فإن △ADE ~ △ABC بـ SAS. فإن ∠ADE = ∠ABC وهما متناظرتان ومن ثم DE ∥ BC. وأيضًا DE/BC = ٢/٣.
في △ABC النقطة D على BC وAC = ٦ وCD = ٤ وCB = ٩. فإن AC² = ٣٦ = CD × CB. إذن AC/CB = ٦/٩ = ٢/٣ = CD/AC = ٤/٦ و∠C مشتركة فإن △ACD ~ △BCA بـ SAS. فينتج ∠CAD = ∠CBA.
Class activity
اختباران ومثلث واحد. ارسم △ABC فيه AB = ٦ وBC = ٩ وCA = ١٢ سم وقس زواياه. ثم ارسم △DEF بعد ضرب كل أضلاعه في ٤/٣ وقارن الزوايا.
Practice
1
هل المثلثان اللذان أضلاعهما ٥, ١٢, ١٣ و١٠, ٢٤, ٢٦ متشابهان؟
٥/١٠ = ١٢/٢٤ = ١٣/٢٦ = ١/٢: نعم بـ SSS.
2
هل المثلثان اللذان أضلاعهما ٣, ٤, ٦ و٦, ٨, ١١ متشابهان؟
٣/٦ = ٤/٨ = ١/٢ لكن ٦/١١ ≠ ١/٢: غير متشابهين.
3
△ABC: AB = ٩ وAC = ٦ و∠A = ٤٠°. △DEF: DE = ٦ وDF = ٤ و∠D = ٤٠°. هل هما متشابهان؟
٩/٦ = ٦/٤ = ٣/٢ والزاويتان ٤٠° محصورتان بين هذه الأضلاع: نعم بـ SAS.
4
مثلثان فيهما زوجان من الأضلاع المتناسبة وزاوية متساوية تقع خارج هذين الضلعين. هل نقول إنهما متشابهان؟
لا. الزاوية التي ليست محصورة بين الضلعين لا تثبت التشابه.
5
D وE منتصفا AB وAC في △ABC وBC = ١٤ سم. أوجد DE.
AD/AB = AE/AC = ١/٢ و∠A مشتركة فإن △ADE ~ △ABC بـ SAS وk = ١/٢. DE = ١٤/٢ = ٧ سم.