3
نسب الزوايا ٠° و٣٠° و٤٥° و٦٠° و٩٠° و١٨٠° و٢٧٠° و٣٦٠° وحساب العبارات بدون آلة حاسبة
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 4, Lesson 3
Goalأعرف القيم الخاصة وأحسب العبارات دون آلة حاسبة.
New words
الزوايا الخاصة · زوايا نسبها المثلثية قيم دقيقة مثل ٣٠° و٤٥° و٦٠°غير معرّف · tan ٩٠° بلا قيمة لأن x = ٠ والقسمة على صفر مستحيلة
Explanation
احفظ هذا الجدول. قيم ٣٠° و٤٥° و٦٠° تأتي من نصف مثلث متساوي الأضلاع (أضلاعه ١ و√٣ و٢) ومن المثلث ٤٥-٤٥-٩٠ (أضلاعه ١ و١ و√٢). وزوايا المحورين نقرؤها من النقطة على دائرة الوحدة: ٠° هي (١, ٠) و٩٠° هي (٠, ١) و١٨٠° هي (−١, ٠) و٢٧٠° هي (٠, −١). فإن sin ٩٠° = ١ وcos ٩٠° = ٠ وtan ٩٠° = ١/٠ غير معرّف، وكذلك عند ٢٧٠°. ولحساب عبارة نعوّض كل نسبة بقيمتها ثم نبسّط بالكسور والجذور. وتحقق بـ sin²θ + cos²θ = ١ كلما أمكن.
| θ | ٠° | ٣٠° | ٤٥° | ٦٠° | ٩٠° | ١٨٠° | ٢٧٠° | ٣٦٠° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | ٠ | ١/٢ | √٢/٢ | √٣/٢ | ١ | ٠ | −١ | ٠ |
| cos θ | ١ | √٣/٢ | √٢/٢ | ١/٢ | ٠ | −١ | ٠ | ١ |
| tan θ | ٠ | √٣/٣ | ١ | √٣ | — | ٠ | — | ٠ |
Worked examples
احسب sin ٣٠° cos ٦٠° + sin ٦٠° cos ٣٠° = ½ × ½ + (√٣/٢)(√٣/٢) = ¼ + ¾ = ١.
احسب ٢ sin ٣٠° + tan ٤٥° − cos ٦٠° = ٢ × ½ + ١ − ½ = ١ + ١ − ½ = ٣/٢.
احسب sin²٤٥° + cos²٦٠° = (√٢/٢)² + (½)² = ½ + ¼ = ¾. وsin ٩٠° + cos ١٨٠° + tan ٤٥° = ١ − ١ + ١ = ١.
Class activity
شرائح المثلث. قص مثلثًا ٣٠-٦٠-٩٠ من الورق ضلعه القصير ١ ووتره ٢. قس الضلع الثالث وقارنه بـ ١٫٧٣. استخدمه لتتحقق أن sin ٦٠° = ٠٫٨٧ وcos ٦٠° = ٠٫٥.
Practice
1
احسب tan ٦٠° × tan ٣٠°.
√٣ × √٣/٣ = ٣/٣ = ١.
2
احسب ٤ cos²٦٠° − ٣ tan ٤٥°.
٤ × ¼ − ٣ × ١ = ١ − ٣ = −٢.
3
احسب cos ١٨٠° + sin ٢٧٠°.
−١ + (−١) = −٢.
4
احسب cos ٣٠° × tan ٦٠° − sin ٣٠°.
√٣/٢ × √٣ − ½ = ٣/٢ − ½ = ١.
5
لماذا tan ٢٧٠° غير معرّف؟
النقطة (٠, −١) وx = ٠ وtan = y/x تتطلب القسمة على صفر.