3
مجموع مكعبين والفرق بين مكعبين
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 2, Lesson 3
Goalأحلّل a³ + b³ وa³ − b³، وأنتبه لإشارات القوس الثاني، وأستخدمهما في مسائل الحجم.
New words
مجموع مكعبين · a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)الفرق بين مكعبين · a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)مكعب كامل · عدد أو حد هو شيء مرفوع للقوة ٣: ٢٧x³ = (٣x)³الإشارة المعاكسة · إشارة الحد الأوسط في القوس الطويل عكس إشارة القوس القصير
Explanation
نفك (a − b)(a² + ab + b²): a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³. إذن a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)، وبالطريقة نفسها a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). لاحظ النمط: القوس القصير له إشارة العبارة الأصلية، والحد الأوسط في القوس الطويل إشارته معاكسة، والحد الأخير موجب دائمًا. في ٢٧x³ − ١: a = ٣x وb = ١ إذن ٢٧x³ − ١ = (٣x − ١)(٩x² + ٣x + ١). وفي x³ + ٨: (x + ٢)(x² − ٢x + ٤). والقوس الطويل a² ∓ ab + b² لا يُحلَّل أكثر في مجموعة الأعداد الحقيقية. وانتبه للإشارات: x³ − ٨ = (x − ٢)(x² + ٢x + ٤) وليس (x − ٢)(x² − ٢x + ٤).
| العبارة | بعد التحليل |
|---|---|
| a³ + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) |
| a³ − b³ | (a − b)(a² + ab + b²) |
| ٢٧x³ − ١ | (٣x − ١)(٩x² + ٣x + ١) |
| x³ + ٨ | (x + ٢)(x² − ٢x + ٤) |
Worked examples
حلّل ٨x³ + ١٢٥. ٨x³ = (٢x)³ و١٢٥ = ٥³ إذن a = ٢x وb = ٥: (٢x + ٥)(٤x² − ١٠x + ٢٥). الحد الأوسط −ab = −٢x × ٥ = −١٠x.
حلّل ٢x³ − ١٦. نُخرج ٢: ٢(x³ − ٨) = ٢(x − ٢)(x² + ٢x + ٤).
مكعب مصمت طول حرفه ٥ سم قُطع من ركنه مكعب طول حرفه ٢ سم. الحجم المتبقي ٥³ − ٢³ = ١٢٥ − ٨ = ١١٧ سم³. وبالقانون: (٥ − ٢)(٢٥ + ١٠ + ٤) = ٣ × ٣٩ = ١١٧. الطريقتان متفقتان.
Class activity
اختبار المكعبات. خذ a = ٤ وb = ١. احسب a³ − b³ و(a − b)(a² + ab + b²). ثم احسب a³ + b³ و(a + b)(a² − ab + b²). هل تتفق الإجابات؟ جرّب a = ٣ وb = ٢ أيضًا.
Practice
1
حلّل x³ − ٢٧.
(x − ٣)(x² + ٣x + ٩).
2
حلّل ٦٤x³ + ١.
(٤x + ١)(١٦x² − ٤x + ١).
3
حلّل ٥x³ + ٤٠ تحليلًا كاملًا.
٥(x³ + ٨) = ٥(x + ٢)(x² − ٢x + ٤).
4
استخدم a³ − b³ لتبيّن أن ١٠³ − ١ = ٩٩٩ = ٩ × ١١١.
(١٠ − ١)(١٠٠ + ١٠ + ١) = ٩ × ١١١ = ٩٩٩.
5
تكتب سلمى x³ − ٨ = (x − ٢)(x² − ٢x + ٤). تحقق بالفك.
(x − ٢)(x² − ٢x + ٤) = x³ − ٤x² + ٨x − ٨ وليس x³ − ٨. الإجابة الصحيحة (x − ٢)(x² + ٢x + ٤).