1
جمع حدود جذرية وطرحها وضربها وخواص العمليات على الأعداد الحقيقية
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 1, Lessons 3–4
Goalأجمع الحدود الجذرية وأطرحها وأضربها، وأستخدم خواص الأعداد الحقيقية لاختصار الحل.
New words
حد جذري · حد مثل ٤√٣: عدد مضروب في جذرحدود جذرية متشابهة · حدود جذرية لها العدد نفسه تحت الجذر مثل ٤√٣ و√٣ما تحت الجذر · العدد الموجود تحت علامة الجذرخاصية التوزيع · a(b + c) = ab + ac
Explanation
الحدود الجذرية تتصرف مثل الحدود الجبرية. ٤√٣ و√٣ حدان متشابهان (ما تحت الجذر ٣ فيهما)، فنجمع المعاملين: ٤√٣ + √٣ = ٥√٣ و−٤√٣ + √٣ = −٣√٣. أما √٢ و√٥ فغير متشابهين فلا يمكن جمعهما، و√٢ + √٣ بالتأكيد لا يساوي √٥. وللضرب نتذكر أن (√a)² = a، فـ√٣ × √٣ = ٣ و−٤√٣ × √٣ = −٤ × ٣ = −١٢. وما زالت خواص الأعداد الحقيقية صحيحة: الجمع والضرب إبداليان وتجميعيان، والعددان ٠ و١ محايدان، والضرب يتوزع على الجمع. وتساعدنا على فك الأقواس التي فيها جذور: (√٧ − ١)(٢√٧ + ٣) = ١٤ + ٣√٧ − ٢√٧ − ٣ = ١١ + √٧.
| القاعدة | مثال |
|---|---|
| جمع حدود متشابهة | ٤√٣ + √٣ = ٥√٣ |
| غير المتشابهة تبقى منفصلة | √٢ + √٥ |
| جذر في نفسه | (√٣)² = ٣ |
| فك الأقواس | (√٥ + ١)(√٥ − ١) = ٤ |
Worked examples
بسّط ٦√٢ − ٢√٢ + ٣√٥ + √٥. نجمع الحدود المتشابهة: (٦ − ٢)√٢ + (٣ + ١)√٥ = ٤√٢ + ٤√٥. الحدان غير متشابهين فهذه هي الإجابة النهائية.
ƒFormula
٢√٣(٤ + √٣) = ٨√٣ + ٦
٢√٣ × √٣ = ٢ × ٣ = ٦
مستطيل طوله ٢√٣ + ١ وعرضه √٣ (بالسنتيمتر). مساحته √٣(٢√٣ + ١) = ٦ + √٣ سم². ومحيطه ٢(٢√٣ + ١ + √٣) = ٦√٣ + ٢ سم.
Class activity
تحقق بالآلة الحاسبة. هل √٢ + √٣ يساوي √٥؟ أوجد الكسر العشري لكل طرف. ثم تحقق أن ٤√٣ + √٣ و٥√٣ لهما القيمة العشرية نفسها. ماذا تلاحظ؟
Practice
1
بسّط ٥√٢ − ٢√٢ + √٢.
(٥ − ٢ + ١)√٢ = ٤√٢.
2
هل يمكن تبسيط ٣√٥ + ٢√٣؟ اشرح.
لا. العددان ٥ و٣ تحت الجذر مختلفان فالحدان غير متشابهين.
3
أوجد ٣√٦ × ٢√٦.
٣ × ٢ × (√٦)² = ٦ × ٦ = ٣٦.
4
فُك (√٥ + ٢)(√٥ − ٢).
٥ − ٢√٥ + ٢√٥ − ٤ = ١.
5
فُك ٢√٣(√٣ + ٥).
٢√٣ × √٣ + ١٠√٣ = ٦ + ١٠√٣.