1
الوسط الحسابي لجدول ذي فئات: مراكز الفئات وf × x
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 4, Lesson 2
Goalأجد الوسط الحسابي لجدول ذي فئات باستخدام مراكز الفئات وحواصل الضرب f × m والمجاميع، وأجد تكرارًا مجهولًا من وسط معطى.
New words
مركز الفئة m · (الحد الأدنى + الحد الأعلى) ÷ ٢؛ ويمثل كل قيم الفئةf × m · التكرار × المركز: تقدير لمجموع قيم الفئةالوسط الحسابي · مجموع f × m مقسومًا على مجموع fتقدير · البيانات المبوبة تُخفي القيم الحقيقية فالوسط غير دقيق
Explanation
في الجدول ذي الفئات لا نعرف القيم الحقيقية فنجعل مركز كل فئة ممثلًا لكل القيم فيها. مركز الفئة هو نصف مجموع حديها الأدنى والأعلى: للفئة ١٠– (من ١٠ حتى ٢٠) هو (١٠ + ٢٠) ÷ ٢ = ١٥. في الجدول ارتفاعات ٢٠ شتلة. نضيف عمودًا m للمراكز وعمودًا f × m. ثم الوسط الحسابي = (مجموع f × m) ÷ (مجموع f). هنا مجموع f × m هو ٣٠ + ١٢٥ + ٢٨٠ + ٢٢٥ = ٦٦٠ ومجموع f هو ٢٠ فالوسط ٦٦٠ ÷ ٢٠ = ٣٣ سم. وهو تقدير. نقسم على مجموع التكرارات (٢٠) وليس على عدد الفئات (٤). وإذا كان التكرار k مجهولًا نكتب مجموع f × m ومجموع f بدلالة k ونضعهما في قانون الوسط ونحل المعادلة.
| الفئة | التكرار | المركز m | f × m |
|---|---|---|---|
| ١٠– | ٢ | ١٥ | ٣٠ |
| ٢٠– | ٥ | ٢٥ | ١٢٥ |
| ٣٠– | ٨ | ٣٥ | ٢٨٠ |
| ٤٠– | ٥ | ٤٥ | ٢٢٥ |
| المجموع | ٢٠ | ٦٦٠ |
Worked examples
الوسط الحسابي لارتفاعات ٢٠ شتلة (الجدول أعلاه): المراكز ١٥ و٢٥ و٣٥ و٤٥؛ وf × m يعطي ٣٠ و١٢٥ و٢٨٠ و٢٢٥ مجموعها ٦٦٠؛ ومجموع f هو ٢٠. الوسط ٦٦٠ ÷ ٢٠ = ٣٣ سم.
| الفئة | التكرار | المركز m | f × m |
|---|---|---|---|
| ٦٠– | ٣ | ٦٥ | ١٩٥ |
| ٧٠– | ٩ | ٧٥ | ٦٧٥ |
| ٨٠– | ١٢ | ٨٥ | ١٠٢٠ |
| ٩٠– | ٦ | ٩٥ | ٥٧٠ |
| المجموع | ٣٠ | ٢٤٦٠ |
تكرار مجهول. للفئات ٠– و١٠– و٢٠– و٣٠–٤٠ التكرارات ٤ و k و١٠ و٦ والوسط ٢١. المراكز ٥ و١٥ و٢٥ و٣٥. مجموع f × m = ٢٠ + ١٥k + ٢٥٠ + ٢١٠ = ٤٨٠ + ١٥k ومجموع f = ٢٠ + k. إذن (٤٨٠ + ١٥k) ÷ (٢٠ + k) = ٢١ و٤٨٠ + ١٥k = ٤٢٠ + ٢١k و٦٠ = ٦k وk = ١٠. تحقق: مجموع f = ٣٠ ومجموع f × m = ٦٣٠ و٦٣٠ ÷ ٣٠ = ٢١.
Class activity
وسط الصف. قِس أطوال ٢٠ زميلًا بالسنتيمتر وضعها في فئات طول كل منها ١٠ سم واحسب الوسط بالمراكز. ثم احسب الوسط الدقيق من الأطوال الأصلية وقارن. ما مدى قرب التقدير من القيمة الدقيقة؟
Practice
1
الفئات ٠– و١٠– و٢٠– و٣٠–٤٠ وتكراراتها ٣ و٧ و٦ و٤. أوجد الوسط.
f × m: ١٥ و١٠٥ و١٥٠ و١٤٠ مجموعها ٤١٠؛ ٤١٠ ÷ ٢٠ = ٢٠٫٥.
2
أوجد مركزي الفئتين ٨٠– (حتى ٩٠) و٢٠– (حتى ٣٠).
٨٥ و٢٥.
3
للفئات ٠– و٥– و١٠– و١٥–٢٠ التكرارات ٢ و k و٦ و٢ والوسط ٩٫٥. أوجد k. (المراكز ٢٫٥ و٧٫٥ و١٢٫٥ و١٧٫٥.)
١١٥ + ٧٫٥k = ٩٫٥(١٠ + k) تعطي ٢٠ = ٢k إذن k = ١٠.
4
درجات في الفئات ٠– و١٠– و٢٠– و٣٠–٤٠ تكراراتها ٥ و١٠ و١٥ و١٠. أوجد متوسط الدرجات.
٢٥ + ١٥٠ + ٣٧٥ + ٣٥٠ = ٩٠٠؛ ٩٠٠ ÷ ٤٠ = ٢٢٫٥.
5
يجد سامي أن مجموع f × m هو ٦٦٠ فيقسمه على عدد الفئات ٤ فيحصل على ١٦٥. ما الخطأ؟
عليه القسمة على مجموع التكرارات ٢٠: ٦٦٠ ÷ ٢٠ = ٣٣.