Goal أحلّل a² − b² إلى (a − b)(a + b) أيضًا بعد إخراج عامل مشترك وبتكرار التحليل، وأستخدمه في الحسابات السريعة.
New words
الفرق بين مربعين · a² − b² مربعان كاملان بينهما إشارة ناقص قوسان مترافقان · (a − b) و(a + b) مجموع مربعين · a² + b² لا يُحلَّل في مجموعة الأعداد الحقيقية تحليل كامل · نواصل حتى لا يمكن تحليل أي قوس آخر
Explanation
(a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b² = a² − b². إذن a² − b² = (a − b)(a + b). ومع المعاملات: ٤x² − ٢٥y² = (٢x)² − (٥y)² = (٢x − ٥y)(٢x + ٥y). ونُخرج العامل المشترك أولًا: ٣x² − ٧٥ = ٣(x² − ٢٥) = ٣(x − ٥)(x + ٥). وأحيانًا نحلّل مرتين: x⁴ − ١٦ = (x² − ٤)(x² + ٤) = (x − ٢)(x + ٢)(x² + ٤). ويصبح الحساب الذهني سهلًا: ٩٩² − ١ = (٩٩ − ١)(٩٩ + ١) = ٩٨ × ١٠٠ = ٩٨٠٠ و١٠٠٢ × ٩٩٨ = ١٠٠٠² − ٢² = ٩٩٩٩٩٦. وإذا كان x − y = ٣ وx² − y² = ٢١ فإن (x − y)(x + y) = ٢١ إذن x + y = ٧. وانتبه: x² + ٩ وx² + ٢٥ مجموعان وليسا فرقين ولا يُحلَّلان في مجموعة الأعداد الحقيقية.
العبارة بعد التحليل x² − ٤٩ (x − ٧)(x + ٧) ٤x² − ٢٥y² (٢x − ٥y)(٢x + ٥y) ٣x² − ٧٥ ٣(x − ٥)(x + ٥) x⁴ − ١٦ (x − ٢)(x + ٢)(x² + ٤)
Worked examples
حلّل ٩x² − ١٦y². ٩x² = (٣x)² و١٦y² = (٤y)² فالناتج (٣x − ٤y)(٣x + ٤y). تحقق: ٩x² + ١٢xy − ١٢xy − ١٦y².
مسطح أخضر مربع طول ضلعه ١٢ م قُطع منه ركن مربع طول ضلعه ٥ م لعمل ممر. المساحة المتبقية ١٢² − ٥² = (١٢ − ٥)(١٢ + ٥) = ٧ × ١٧ = ١١٩ م². تحقق: ١٤٤ − ٢٥ = ١١٩.
حلّل x⁴ − ٨١ تحليلًا كاملًا. x⁴ − ٨١ = (x² − ٩)(x² + ٩) = (x − ٣)(x + ٣)(x² + ٩). القوس x² + ٩ مجموع مربعين فنتوقف. وأوجد أيضًا ١٠١² − ٩٩² = (١٠١ − ٩٩)(١٠١ + ٩٩) = ٢ × ٢٠٠ = ٤٠٠.
Class activity
مربعات سريعة. استخدم a² − b² = (a − b)(a + b) لإيجاد ٥٢ × ٤٨ (اكتبها ٥٠² − ٢²) و٣١ × ٢٩ و١٠٠٥ × ٩٩٥ بلا آلة حاسبة. تحقق من إجابة واحدة بالضرب الطويل.
Practice
1 حلّل x² − ٤٩.
Answer (x − ٧)(x + ٧).
2 حلّل ٢x² − ٥٠.
Answer ٢(x² − ٢٥) = ٢(x − ٥)(x + ٥).
3 أوجد ٥٢ × ٤٨ باستخدام ٥٠² − ٢².
Answer ٢٥٠٠ − ٤ = ٢٤٩٦.
4 إذا كان x − y = ٢ وx² − y² = ١٤ فأوجد x + y.
Answer (x − y)(x + y) = ١٤ إذن x + y = ٧.
5 يقول سيف إن x² + ١٦ = (x − ٤)(x + ٤). هل هو على صواب؟
Answer لا. (x − ٤)(x + ٤) = x² − ١٦. ومجموع مربعين لا يُحلَّل في مجموعة الأعداد الحقيقية.
