3
الاتحاد والتقاطع والفرق والمتممة للفترات
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 1, Lesson 2
Goalأوجد X ∪ Y وX ∩ Y وX − Y ومتممة الفترات، مع فحص كل طرف.
New words
الاتحاد X ∪ Y · كل ما في X أو في Y (أو فيهما معًا)التقاطع X ∩ Y · ما يوجد في X وفي Y معًا فقطالفرق X − Y · ما في X وليس في Yالمتممة X′ · R − X: كل ما في R وليس في X
Explanation
الفترات مجموعات، فيمكننا دمجها كما ندمج المجموعات. نرسمهما على خطي أعداد أحدهما فوق الآخر ثم ننظر إلى كل جزء. لتكن X = [−١, ٤[ وY = ]٢, ٦]: الاتحاد X ∪ Y = [−١, ٦] لأنهما معًا يغطيان كل ما بين −١ و٦. والتقاطع X ∩ Y = ]٢, ٤[ هو الجزء المرسوم في الفترتين. والفرق X − Y = [−١, ٢] يبقي ما في X وليس في Y؛ ويبقى العدد ٢ لأنه في X وليس في Y. ومتممة X في R هي X′ = R − X = ]−∞, −١[ ∪ [٤, ∞[. اختبر الأطراف دائمًا واحدًا واحدًا. والعمليات نفسها تصلح مع مجموعات أخرى: Z ∩ ]−٢, ٣] = {−١, ٠, ١, ٢, ٣}.
| X = [−١, ٤[ وY = ]٢, ٦] | الناتج |
|---|---|
| X ∪ Y | [−١, ٦] |
| X ∩ Y | ]٢, ٤[ |
| X − Y | [−١, ٢] |
| Y − X | [٤, ٦] |
| X′ | ]−∞, −١[ ∪ [٤, ∞[ |
Worked examples
أوجد [١, ٤] ∪ ]٣, ٨[. الأولى تغطي من ١ إلى ٤ بالطرفين، والثانية من ٣ إلى ٨ دون طرفيها. معًا تغطيان كل ما من ١ إلى ٨، والعدد ٨ غير داخل: [١, ٨[.
أوجد ]١, ٥] ∩ ]−∞, ٣]. يجب أن يكون العدد أكبر من ١ وأيضًا أقل من أو يساوي ٣، فالناتج ]١, ٣]. نفحص الطرفين: ١ خارج (مفتوح في الأولى) و٣ داخل (مغلق في الثانية). والآن أوجد [٠, ٦[ − ]٢, ٤]: نحذف ٢ < x ≤ ٤ ونُبقي [٠, ٢] ∪ ]٤, ٦[.
المجموعة أ تقبل الأعمار من ٢٥ إلى ٤٥: [٢٥, ٤٥]. والمجموعة ب تقبل من ٤٠ إلى ٦٠: [٤٠, ٦٠]. الأعمار المقبولة في المجموعتين: [٢٥, ٤٥] ∩ [٤٠, ٦٠] = [٤٠, ٤٥]. ومع الأعداد الصحيحة: Z ∩ ]−٢, ٣] = {−١, ٠, ١, ٢, ٣}؛ وN ∩ [−٣, ٠[ = ∅ لأن N لا تحتوي أعدادًا سالبة والعدد ٠ ليس في [−٣, ٠[.
Class activity
نادِيان. يجتمع النادي أ في الأيام من ١ إلى ٢٠ من الشهر والنادي ب من ١٥ إلى ٣١. اكتب كلًا منهما فترة، ثم أوجد الأيام التي يجتمع فيها النادِيان معًا والأيام التي يجتمع فيها نادٍ واحد على الأقل. تأكد أن الاتحاد لا فجوة فيه.
Practice
1
أوجد [٠, ٥[ ∩ ]٢, ٩].
]٢, ٥[.
2
أوجد ]−∞, ٣[ ∪ [٣, ∞[.
R لأن العدد ٣ تغطيه الفترة الثانية.
3
أوجد [٢, ٨] − ]٤, ٦[.
[٢, ٤] ∪ [٦, ٨].
4
أوجد متممة [−١, ∞[ في R.
]−∞, −١[.
5
أوجد Z ∩ [−٣, ١[ واكتب أعدادها.
{−٣, −٢, −١, ٠}. والعدد ١ خارجها.