زوايا المضلعات

لماذا مجموع الزوايا الخارجة ٣٦٠°؟ عند كل رأس من الرؤوس الـ⁦n⁩ الداخلية + الخارجة = ١٨٠°. فالمجموع الكلي ⁦n × ١٨٠‎°⁩ = (مجموع الداخلية) + (مجموع الخارجة). ومجموع الداخلية ⁦(n − ٢‎) × ١٨٠‎°⁩ إذن مجموع الخارجة ⁦n × ١٨٠‎° − (n − ٢‎) × ١٨٠‎° = ٢‎ × ١٨٠‎° = ٣٦٠‎°⁩. وهذا صحيح لكل مضلع محدب منتظمًا كان أو لا: امشِ حول المضلع من الخارج دورة واحدة فتدور دورة كاملة. وفي المضلعات غير المنتظمة نطرح الزوايا الخارجة المعلومة من ٣٦٠°. وعدد أقطار المضلع المحدب ⁦n(n − ٣‎) ÷ ٢‎⁩: من كل رأس نرسم ⁦n − ٣‎⁩ قطرًا (لا إلى نفسه ولا إلى جاريه) ويُعدّ كل قطر مرتين. السداسي فيه ⁦٦‎ × ٣‎ ÷ ٢‎ = ٩‎⁩. وإذا كان لمضلع ٩ أقطار فإن ⁦n(n − ٣‎) = ١٨‎⁩ و⁦n² − ٣‎n − ١٨‎ = ٠‎⁩ و⁦(n − ٦‎)(n + ٣‎) = ٠‎⁩ إذن ⁦n = ٦‎⁩ (والقيمة ⁦n = −٣‎⁩ مستحيلة).