Week 10 · Parallel lines and medians: equal intercepts, the midsegment of a triangle and the medians of a triangle · 3 lessons
3
متوسطات المثلث: نقطة التقاطع ونسبة ٢ : ١ والمتوسط على الوتر
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 3, Lessons 3–4
Goalأوجد أطوالًا باستخدام متوسطات المثلث الثلاثة التي تتقاطع في نقطة واحدة وتنقسم بنسبة ٢ : ١، وأستخدم المتوسط على الوتر.
New words
المتوسط · القطعة من رأس إلى منتصف الضلع المقابلنقطة تقاطع المتوسطات · النقطة التي تتقاطع فيها المتوسطات الثلاثة؛ نقطة اتزان المثلثالنسبة ٢ : ١ · من الرأس تقسم نقطة التقاطع المتوسط إلى جزأين الأول ضعف الثانيالارتفاع · قطعة مختلفة: من رأس عموديًا على الضلع المقابل
Explanation
المتوسط يصل بين رأس ومنتصف الضلع المقابل. في المثلث ثلاثة متوسطات وهي تتقاطع دائمًا في نقطة واحدة G هي نقطة تقاطع المتوسطات. اقطع مثلثًا من الورق المقوّى ووازِنه على طرف قلم عند G. تقسم G كل متوسط بنسبة ٢ : ١ مقيسة من الرأس. في الرسم AG = ٢ × GD فـAG ثلثا المتوسط AD وGD ثلثه. إذا كان المتوسط ١٥ سم فإن AG = ١٠ سم وGD = ٥ سم. وإذا عرفت الجزء القصير GD فالمتوسط كله AD = ٣ × GD. والمتوسط ليس ارتفاعًا: فهو يذهب إلى المنتصف وليس بالضرورة عموديًا على الضلع. وهناك قاعدة أخرى للمثلث القائم الزاوية: المتوسط المرسوم من رأس الزاوية القائمة إلى الوتر يساوي نصف الوتر. أي أن منتصف الوتر يبعد البعد نفسه عن الرؤوس الثلاثة. وهذا يصح للمتوسط المرسوم من الزاوية القائمة فقط وفي المثلث القائم فقط.
Worked examples
في Δ ABC المتوسطات AD وBE وCF تتقاطع في G. AD = ١٥ سم إذن AG = ١٠ سم وGD = ٥ سم. وإذا كان BG = ١٢ سم فإن GE = ٦ سم والمتوسط BE = ١٨ سم. وإذا كان GF = ٤ سم فإن CG = ٨ سم وCF = ١٢ سم.
في Δ ABC القائم الزاوية في C الضلعان القائمان ٦ سم و٨ سم. الوتر ١٠ سم. المتوسط CM من الزاوية القائمة إلى منتصف الوتر M يساوي نصفه: CM = ٥ سم. لاحظ أن AM = MB = CM = ٥ سم.
المتوسط على وتر مثلث قائم الزاوية ٧٫٥ سم وأحد الضلعين القائمين ٩ سم. الوتر ٢ × ٧٫٥ = ١٥ سم. والضلع الآخر √(١٥² − ٩²) = √(٢٢٥ − ٨١) = √١٤٤ = ١٢ سم. والمحيط ٩ + ١٢ + ١٥ = ٣٦ سم.
Class activity
وازِن مثلثًا. اقطع مثلثًا من الورق المقوّى. اطوِ كل رأس على الضلع المقابل لتجد المنتصفات الثلاثة، وارسم المتوسطات الثلاثة وعلّم نقطة تقاطعها. وازِن المثلث على طرف قلم عند هذه النقطة. ثم قس أحد المتوسطات وتحقق من النسبة ٢ : ١.
Practice
1
متوسطات Δ ABC تتقاطع في G. AD = ٢٤ سم. أوجد AG وGD.
AG = ٢/٣ × ٢٤ = ١٦ سم وGD = ٨ سم.
2
G نقطة تقاطع المتوسطات وGE = ٥ سم على المتوسط BE. أوجد BG وBE.
BG = ١٠ سم وBE = ١٥ سم.
3
وتر مثلث قائم الزاوية ٢٦ سم. كم طول المتوسط على الوتر؟
نصف ٢٦: ١٣ سم.
4
المتوسط من الزاوية القائمة ١٠ سم وأحد الضلعين القائمين ١٢ سم. أوجد الضلع الآخر.
