الأسبوع 9 · Pythagoras' theorem and its converse: finding sides and classifying triangles · 3 دروس
3
حادة أم قائمة أم منفرجة؟ تصنيف المثلث بأضلاعه
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 3, Lesson 2
Goalأصنّف المثلث بمقارنة c² بـa² + b² أيضًا مع الجذور والحروف، وأحل مسائل على الحبال والطائرات الورقية.
New words
مثلث حاد الزوايا · زواياه الثلاث أقل من ٩٠°: c² < a² + b²مثلث قائم الزاوية · إحدى زواياه ٩٠°: c² = a² + b²مثلث منفرج الزاوية · إحدى زواياه أكبر من ٩٠°: c² > a² + b²متباينة المثلث · مجموع أي ضلعين يجب أن يكون أكبر من الثالث
Explanation
نقارن c² (مربع أطول ضلع) بـa² + b². إذا كان c² = a² + b² فالمثلث قائم الزاوية. وإذا كان c² < a² + b² فأطول ضلع ‘قصير’ فلا يفتح الزاوية تمامًا فالزوايا كلها حادة. وإذا كان c² > a² + b² فأطول ضلع ‘طويل’ فالزاوية المقابلة له منفرجة. في ٥، ٦، ٧: ٤٩ < ٢٥ + ٣٦ = ٦١ حادة. وفي ٤، ٥، ٧: ٤٩ > ١٦ + ٢٥ = ٤١ منفرجة. ويجب أن تكوّن الأطوال الثلاثة مثلثًا أولًا: ٣، ٤، ٨ لا تكوّنه لأن ٣ + ٤ < ٨. ويصلح الاختبار مع الجذور والحروف: √٣ و√٦ و٣ تعطي ٩ = ٣ + ٦ أي زاوية قائمة؛ و٣x، ٤x، ٥x تعطي ٢٥x² = ٩x² + ١٦x² أي زاوية قائمة لكل x موجب.
المقارنة
المثلث
c² = a² + b²
قائم الزاوية
c² < a² + b²
حاد الزوايا
c² > a² + b²
منفرج الزاوية
Worked examples
صنّف المثلث الذي أضلاعه ٤ و٥ و٧. أولًا ٤ + ٥ = ٩ > ٧ فهو مثلث. c² = ٤٩ وa² + b² = ١٦ + ٢٥ = ٤١. وبما أن ٤٩ > ٤١ فهو منفرج الزاوية. والآن ٥، ٦، ٧: ٤٩ < ٦١ فهو حاد الزوايا.
هل المثلث الذي أضلاعه √٥ و٢ و٣ قائم الزاوية؟ أطول ضلع ٣ (لأن √٥ ≈ ٢٫٢٤). ٣² = ٩ و(√٥)² + ٢² = ٥ + ٤ = ٩. هما متساويان إذن نعم. وهل ٣x، ٤x، ٥x قائم؟ ٩x² + ١٦x² = ٢٥x² = (٥x)². نعم.
ساري علم ارتفاعه ٨ م وحبل طوله ١٠ م يمتد من قمته إلى الأرض. تبعد نهاية الحبل عن الساري √(١٠² − ٨²) = √٣٦ = ٦ م. وطائرة ورقية على خيط ١٣ م وتبعد ٥ م أفقيًا عن الطفل ارتفاعها √(١٦٩ − ٢٥) = √١٤٤ = ١٢ م. وملعب مدرسة ٦٠ × ٨٠ م قطره √(٣٦٠٠ + ٦٤٠٠) = ١٠٠ م.
Class activity
افرز المثلثات. كوّن جدولًا لخمس ثلاثيات من الأطوال مثل ٥-٦-٧ و٦-٨-١٠ و٤-٥-٧ و٧-٩-١١ و٨-١٥-١٧. احسب c² وa² + b² لكل منها وقل هل المثلث حاد أم قائم أم منفرج. تحقق من أحدها برسمه بدقة.
Practice
1
صنّف المثلث الذي أضلاعه ٦ و٨ و٩.
٨١ < ٣٦ + ٦٤ = ١٠٠ إذن هو حاد الزوايا.
2
صنّف المثلث الذي أضلاعه ٥ و١٢ و١٤.
١٩٦ > ٢٥ + ١٤٤ = ١٦٩ إذن هو منفرج الزاوية.
3
صنّف المثلث الذي أضلاعه ٧ و٢٤ و٢٥.
٦٢٥ = ٤٩ + ٥٧٦ إذن هو قائم الزاوية.
4
هل يمكن أن تكون ٣ سم و٤ سم و٨ سم أضلاع مثلث؟
لا: ٣ + ٤ = ٧ أقل من ٨.
5
بيّن أن المثلث الذي أضلاعه ٥x و١٢x و١٣x قائم الزاوية (x > ٠).
