الأسبوع 10 · Parallel lines and medians: equal intercepts, the midsegment of a triangle and the medians of a triangle · 3 دروس
1
المستقيمات المتوازية والأجزاء المتساوية: القواطع تُقطَع إلى أجزاء متساوية
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 3, Lessons 3–4
Goalأستخدم الأجزاء المتساوية التي تقطعها مستقيمات متوازية على قاطع واحد لإيجاد أجزاء متساوية على قاطع آخر، وأستخدم فكرة منتصف الضلع في المثلث.
New words
القاطع · مستقيم يقطع عدة مستقيمات أخرىمستقيمات متوازية · مستقيمات في مستوى واحد لا تتقاطع أبدًامنتصف القطعة · النقطة التي تقسم القطعة إلى جزأين متساويينأجزاء متساوية · قطع لها الطول نفسه وتُعلَّم بعدد العلامات نفسه
Explanation
تخيل ورق دفتر مسطّرًا: السطور متوازية والمسافات بينها متساوية. إذا رسمت أي خط مائل يقطع عدة سطور فالأجزاء بين السطور متساوية. هذه هي القاعدة الأولى: إذا قطعت مستقيمات متوازية أجزاء متساوية على قاطع واحد فإنها تقطع أجزاء متساوية على كل قاطع. في الرسم AB = BC على اليسار، والمستقيمات المتوازية AD وBE وCF تعطي DE = EF على اليمين. أطوال القاطعين مختلفة لكن الأجزاء على كل قاطع متساوية فيما بينها. تحتاج القاعدة إلى مستقيمات متوازية؛ أما المستقيمات المتفرقة فلا تصلح. وتنتج قاعدة ثانية في المثلث: إذا كانت D منتصف AB وكان مستقيم يمر بـD يوازي BC فإنه يقطع AC في منتصفها E. الفكرة: نرسم مستقيمًا من A يوازي BC. المستقيمات الثلاثة المتوازية تقطع AB إلى جزأين متساويين AD وDB فتقطع AC إلى جزأين متساويين AE وEC. يلزم الشرطان معًا: أن تكون D منتصفًا وأن يكون DE موازيًا لـBC.
Worked examples
المستقيمات المتوازية AD وBE وCF تقطع القاطع AC بحيث AB = BC = ٣ سم. وعلى القاطع الآخر DE = ٢x + ١ وEF = ٩. الأجزاء المتساوية على قاطع تعطي أجزاء متساوية على الآخر إذن ٢x + ١ = ٩ و٢x = ٨ وx = ٤. فيكون DE = ٩ سم وDF = ١٨ سم.
ثلاثة مستقيمات متوازية متساوية البعد تقطع طريقًا إلى جزأين متساويين. وعلى طريق ثانٍ الجزآن ٥x − ٤ و٣x + ٦ مترًا. بما أنهما متساويان فإن ٥x − ٤ = ٣x + ٦ و٢x = ١٠ وx = ٥. كل جزء ٥ × ٥ − ٤ = ٢١ م، والطريق الثاني كله ٤٢ م. نتحقق من الجزء الآخر: ٣ × ٥ + ٦ = ٢١ م.
في Δ ABC النقطة D منتصف AB ومستقيم يمر بـD يوازي BC يقطع AC في E. إذن E منتصف AC. إذا كان AE = ٣x − ٢ وEC = x + ٦ فإن ٣x − ٢ = x + ٦ إذن x = ٤ وAE = ١٠ سم وAC = ٢٠ سم.
Class activity
اختبار الورق المسطّر. ارسم خطين مائلين مختلفين يقطعان صفحة مسطّرة (أو ارسم خمسة مستقيمات متوازية متساوية البعد). قس الأجزاء على كل خط بالمسطرة. هل الأجزاء على كل خط متساوية؟ ثم ارسم مستقيمات تتفرق من نقطة واحدة وقس من جديد: ماذا يتغير؟
Practice
1
مستقيمات متوازية تقطع AB = BC على قاطع. وعلى قاطع آخر DE = ٤x − ٣ وEF = ٢x + ٥. أوجد x وDE.
