Goalأقسم مضلعًا محدبًا إلى مثلثات من رأس واحد لأحصل على مجموع زواياه الداخلية (n − ٢) × ١٨٠°، ثم أجد زوايا مجهولة وعدد الأضلاع.
New words
مضلع · شكل مغلق من أضلاع مستقيمة ويُسمّى بعدد أضلاعهمحدب · لا توجد فيه زاوية داخلية أكبر من ١٨٠°؛ أي لا نتوء إلى الداخلقطر · قطعة تصل بين رأسين غير متجاورينالزوايا الداخلية · الزوايا داخل المضلع عند رؤوسه
Explanation
اختر رأسًا واحدًا في مضلع محدب وارسم منه كل الأقطار. تقسم الأقطار المضلع إلى مثلثات. الخماسي يعطي ٣ مثلثات والسداسي ٤: وبوجه عام المضلع ذو n ضلعًا يعطي n − ٢ مثلثًا. مجموع زوايا كل مثلث ١٨٠° وزوايا المثلثات معًا تملأ بالضبط الزوايا الداخلية للمضلع. إذن مجموع الزوايا الداخلية هو (n − ٢) × ١٨٠°. تحقق: المثلث ١٨٠° والرباعي ٣٦٠° والخماسي ٥٤٠° والسداسي ٧٢٠°. انتبه: n − ٢ وليس n. والقاعدة للمضلعات المحدبة؛ ولا نتناول هنا المضلع الذي فيه نتوء إلى الداخل. لإيجاد عدد الأضلاع من مجموع زوايا معطى نحل معادلة: (n − ٢) × ١٨٠ = ١٤٤٠ تعطي n − ٢ = ٨ إذن n = ١٠. ولإيجاد زاوية مجهولة نطرح الزوايا المعلومة من المجموع.
Worked examples
أوجد مجموع الزوايا الداخلية في السداسي. السداسي n = ٦ فيعطي ٦ − ٢ = ٤ مثلثات والمجموع ٤ × ١٨٠° = ٧٢٠°. وفي العشاري (١٠ أضلاع) المجموع (١٠ − ٢) × ١٨٠° = ١٤٤٠°.
مجموع الزوايا الداخلية لمضلع ١٤٤٠°. كم ضلعًا له؟ (n − ٢) × ١٨٠ = ١٤٤٠ إذن n − ٢ = ١٤٤٠ ÷ ١٨٠ = ٨ وn = ١٠. ولا يمكن أن يكون المجموع ١٠٠٠° لأن ١٠٠٠ ÷ ١٨٠ ليس عددًا صحيحًا.
أربع زوايا في خماسي هي ١٠٠° و١١٠° و١٢٠° و٩٥°. المجموع ٥٤٠° إذن الزاوية الخامسة x = ٥٤٠° − (١٠٠° + ١١٠° + ١٢٠° + ٩٥°) = ٥٤٠° − ٤٢٥° = ١١٥°.
Class activity
قطّعه. ارسم سداسيًا محدبًا على ورقة وارسم كل الأقطار من رأس واحد. عُدّ المثلثات. ثم قصّ زوايا سداسي ورقي وضعها حول نقطة: هل مجموعها ٧٢٠°؟
