الأسبوع 9 · Pythagoras' theorem and its converse: finding sides and classifying triangles · 3 دروس
1
نظرية فيثاغورس: إيجاد ضلع مجهول في مثلث قائم الزاوية
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 3, Lesson 2
Goalأستخدم c² = a² + b² لإيجاد الوتر أو أحد الضلعين القائمين، وأحل مسائل بسيطة على مثلثين قائمين أو سلّم.
New words
الوتر · الضلع المقابل للزاوية القائمة؛ وهو أطول ضلعالضلعان القائمان · الضلعان اللذان يكوّنان الزاوية القائمةنظرية فيثاغورس · c² = a² + b² حيث c هو الوترالجذر التربيعي · يعكس التربيع: √٢٥ = ٥
Explanation
في المثلث القائم الزاوية يساوي مربع الوتر مجموع مربعي الضلعين الآخرين: c² = a² + b². ويبين الرسم ذلك في المثلث ٣-٤-٥: مساحتا المربعين على الضلعين القائمين ٩ و١٦ و٩ + ١٦ = ٢٥ هو المربع المرسوم على الوتر. لإيجاد الوتر نجمع مربعي الضلعين القائمين ونأخذ الجذر التربيعي: الضلعان ٦ و٨ يعطيان c² = ٣٦ + ٦٤ = ١٠٠ إذن c = ١٠. ولإيجاد ضلع قائم نطرح: b² = c² − a². وإذا لم يكن الناتج عددًا صحيحًا تركناه على صورة جذر (الضلعان ٤ و٥ يعطيان c = √٤١) ولا نستخدم الآلة الحاسبة إلا إذا طلبت المسألة كسرًا عشريًا. وانتبه: c² = ١٠٠ ليس الطول بعد؛ الطول c = ١٠. والوتر أطول ضلع دائمًا فهو أكبر من الضلعين القائمين.
سلّم طوله ٥ م يستند إلى حائط وقدمه تبعد ٣ م عن الحائط. إلى أي ارتفاع يصل؟ السلّم هو الوتر: h² = ٥² − ٣² = ٢٥ − ٩ = ١٦ إذن h = ٤ م.
مثلثان قائما الزاوية لهما ضلع مشترك. في Δ ABC الزاوية القائمة عند B وAB = ٣ وBC = ٤ إذن AC = ٥. وفي Δ ACD الزاوية القائمة عند C وCD = ١٢. فيكون AD² = ٥² + ١٢² = ١٦٩ إذن AD = ١٣. ولإيجاد مساحة مثلث قائم وتره ١٧ وأحد ضلعيه ٨ نحتاج الضلع الآخر: √(٢٨٩ − ٦٤) = ١٥ فالمساحة ½ × ٨ × ١٥ = ٦٠.
Class activity
حبل ٣-٤-٥. اعمل عقدًا على حبل عند ٣ و٤ و٥ مسافات متساوية (مثلًا ٣٠ سم لكل مسافة) واربط الطرفين لتكوّن مثلثًا. افحص الزاوية المقابلة لأطول ضلع بركن كتاب. هل هي قائمة؟
