الأسبوع 2 · Intervals: bounded and unbounded intervals and the operations union, intersection, difference and complement · 3 دروس
1
الفترات المحدودة: المغلقة والمفتوحة ونصف المفتوحة على خط الأعداد
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 1, Lesson 2
Goalأكتب الفترة المحدودة على صورة متباينة وبرمز الفترة وعلى خط الأعداد، وأحدد أي طرفين ينتميان إليها.
New words
فترة · جميع الأعداد الحقيقية بين طرفينفترة مغلقة [a, b] · تشمل الطرفين: a ≤ x ≤ bفترة مفتوحة ]a, b[ · لا تشمل الطرفين: a < x < bفترة نصف مفتوحة · تشمل أحد الطرفين فقط: [a, b[ أو ]a, b]
Explanation
الفترة مجموعة من الأعداد الحقيقية تقع بين طرفين. ويمكن كتابتها بثلاث طرق: مجموعة {x : x ∈ R, ٢ ≤ x < ٥} أو برمز الفترة [٢, ٥[ أو على خط الأعداد. القوس المربع بجوار العدد (أو النقطة الممتلئة) يعني أن العدد داخل الفترة، ويناسب ≤ أو ≥. والقوس المفتوح إلى الخارج (أو الدائرة الفارغة) يعني أن العدد خارج الفترة، ويناسب < أو >. فـ[a, b] تعني a ≤ x ≤ b و]a, b[ تعني a < x < b و]a, b] تعني a < x ≤ b و[a, b[ تعني a ≤ x < b. والطرف المفتوح خارج الفترة فعلًا: في ]٢, ٥[ العدد ٥ غير موجود لكن ٤٫٩٩٩ موجود، ولا يوجد أكبر عدد أصغر من ٥.
الاسم
الفترة
المتباينة
مغلقة
[٢, ٥]
٢ ≤ x ≤ ٥
مفتوحة
]٢, ٥[
٢ < x < ٥
نصف مفتوحة
]٢, ٥]
٢ < x ≤ ٥
نصف مفتوحة
[٢, ٥[
٢ ≤ x < ٥
Worked examples
صف الفترة [٢, ٥]. هي {x : x ∈ R, ٢ ≤ x ≤ ٥}. الطرفان داخلها، فـ٢ ∈ [٢, ٥] و٥ ∈ [٢, ٥]. والعدد √٥ ≈ ٢٫٢٤ داخلها أيضًا، أما ١٫٩ فخارجها.
صف الفترة ]−١, ٤[. هي {x : x ∈ R, −١ < x < ٤}. لا ينتمي إليها −١ ولا ٤: −١ ∉ ]−١, ٤[ و٤ ∉ ]−١, ٤[. أما ٠ و٣٫٩٩ فينتميان إليها.
اقرأ خط الأعداد. الدائرة الفارغة عند −٢ والنقطة الممتلئة عند ٣، فالفترة ]−٢, ٣] = {x : x ∈ R, −٢ < x ≤ ٣}.
Class activity
خط الأعداد البشري. ارسم بالطباشير خطًا من ٠ إلى ١٠ على الأرض. اختر الفترة ]٢, ٧]. اطلب من أصدقائك أن يقف كل منهم على العدد من ٠ إلى ١٠ الذي ينتمي إليها. هل يقف أحد على ٢؟ وهل يقف أحد على ٧؟
Practice
1
اكتب ]٣, ٧] على صورة متباينة.
٣ < x ≤ ٧.
2
اكتب {x : x ∈ R, −٢ ≤ x < ٤} على صورة فترة.
[−٢, ٤[.
3
حدّد: هل ٥ ∈ ]١, ٥[؟ هل √١٠ ∈ ]٣, ٤]؟
٥ ∉ ]١, ٥[ لأن الطرف مفتوح. √١٠ ≈ ٣٫١٦ بين ٣ و٤ إذن √١٠ ∈ ]٣, ٤].
4
اكتب الفترة الموضحة على خط الأعداد.
[١, ٦[ (نقطة ممتلئة عند ١ ودائرة فارغة عند ٦).
5
يكتب كريم ]٢, ٥] للمتباينة ٢ ≤ x < ٥. ما الخطأ؟
القوسان في غير موضعهما. العدد ٢ داخل الفترة فالقوس الأيسر مربع، والعدد ٥ خارجها فالأيمن مفتوح: [٢, ٥[.
