الأسبوع 9 · Pythagoras' theorem and its converse: finding sides and classifying triangles · 3 دروس
2
عكس نظرية فيثاغورس والثلاثيات الفيثاغورية
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 3, Lesson 2
Goalأختبر هل تكوّن ثلاثة أطوال مثلثًا قائم الزاوية، وأتعرف الثلاثيات الفيثاغورية.
New words
العكس · إذا كان c² = a² + b² فالمثلث قائم الزاوية في الزاوية المقابلة لـ cثلاثية فيثاغورية · ثلاثة أعداد صحيحة تحقق c² = a² + b² مثل ٣ و٤ و٥أطول ضلع · هو دائمًا الضلع المستخدم على أنه c في الاختبارمضاعفات · ضرب الثلاثية في عدد يعطي ثلاثية أخرى
Explanation
يخبرنا العكس متى يكون في المثلث زاوية قائمة: إذا كان مربع أطول ضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين فالزاوية المقابلة لأطول ضلع قائمة. لماذا؟ نرسم مثلثًا قائم الزاوية ضلعاه القائمان a وb. حسب النظرية وتره c. والمثلث الذي أضلاعه a وb وc يطابقه بحالة SSS فلا بد أن تكون فيه زاوية قائمة أيضًا. لاختبار ٧ و٢٤ و٢٥: ٧² + ٢٤² = ٤٩ + ٥٧٦ = ٦٢٥ = ٢٥² إذن نعم. ولاختبار ٨ و١٣ و١٥: ٨² + ١٣² = ٢٣٣ لكن ١٥² = ٢٢٥ إذن لا. نضع دائمًا أطول ضلع على أنه c ونربّع الأضلاع الثلاثة. والثلاثيات ٣-٤-٥ و٥-١٢-١٣ و٨-١٥-١٧ و٧-٢٤-٢٥ ثلاثيات فيثاغورية، ومضاعفاتها مثل ٦-٨-١٠ كذلك. ويستخدم البنّاؤون ٣-٤-٥ لعمل زوايا قائمة.
الثلاثية
a² + b²
c²
٣, ٤, ٥
٩ + ١٦ = ٢٥
٢٥
٥, ١٢, ١٣
٢٥ + ١٤٤ = ١٦٩
١٦٩
٨, ١٥, ١٧
٦٤ + ٢٢٥ = ٢٨٩
٢٨٩
٧, ٢٤, ٢٥
٤٩ + ٥٧٦ = ٦٢٥
٦٢٥
Worked examples
هل المثلث الذي أضلاعه ٢٠ و٢١ و٢٩ قائم الزاوية؟ أطول ضلع ٢٩. ٢٠² + ٢١² = ٤٠٠ + ٤٤١ = ٨٤١ و٢٩² = ٨٤١. هما متساويان إذن نعم: الزاوية القائمة مقابلة للضلع ٢٩.
هل ٦، ٧، ١٠ مثلث قائم الزاوية؟ ٦² + ٧² = ٣٦ + ٤٩ = ٨٥ لكن ١٠² = ١٠٠. مختلفان إذن لا. (المثلث موجود لأن ٦ + ٧ > ١٠ لكنه بلا زاوية قائمة.)
يعلّم بنّاء ٣ م على أحد الحائطين من الركن و٤ م على الآخر. إذا كانت المسافة بين العلامتين ٥ م بالضبط فإن ٣² + ٤² = ٥² ويكون الركن قائمًا. ومثلث ٦-٨-١٠ أو ٩-١٢-١٥ يعمل بالطريقة نفسها.
Class activity
اعثر على ثلاثية. خذ الثلاثية ٣-٤-٥ واضربها في ٢ و٣ و١٠. تحقق من كل ناتج بـc² = a² + b². ثم جرّب الأعداد ٢ و٣ و٤ وبيّن أنها لا تكوّن زاوية قائمة.
