هناك حالتان أخريان تثبتان التطابق. ASA: زاويتان والضلع المحصور بينهما. AAS: زاويتان وضلع غير محصور بينهما؛ ولأن الزاوية الثالثة معلومة دائمًا (مجموع الزوايا ١٨٠°) فإن AAS هي ASA بشكل آخر. RHS: مثلثان قائما الزاوية فيهما وتران متساويان وضلع قائم متساوٍ؛ والزاوية القائمة هنا ليست بين الضلعين المتساويين. وهناك أمران لا يصحان. AAA: مثلث له الزوايا نفسها قد يكون أكبر أو أصغر، مثل مثلثين متساويي الأضلاع طول ضلعهما ٣ و٥. SSA: ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما قد تناسب مثلثين مختلفين. وتساعدنا حقائق مخفية في الشكل: ضلع مشترك وزاويتان متقابلتان بالرأس ومنتصف وعمود. وبعد إثبات التطابق تتساوى الأجزاء المتناظرة؛ فنحصل على أطوال وزوايا.
الحالة
ما يجب أن يتساوى
تصح؟
SSS
٣ أضلاع
✓
SAS
ضلعان والزاوية بينهما
✓
ASA / AAS
زاويتان وضلع
✓
RHS
الوتر وضلع قائم
✓
AAA
٣ زوايا
✗
SSA
ضلعان وزاوية غير محصورة
✗
Worked examples
مثلثان: ∠B = ∠E = ٤٠° و∠C = ∠F = ٦٠° وBC = EF = ٨ سم. الضلع BC بين ∠B و∠C والضلع EF بين ∠E و∠F إذن Δ ABC ≅ Δ DEF بحالة ASA. ومثلثان قائما الزاوية وتر كل منهما ١٣ سم وأحد ضلعيه القائمين ٥ سم متطابقان بحالة RHS.
المستقيمان AD وBC يتقاطعان في O وهي منتصف كل منهما. أثبت أن AB = DC. في Δ AOB وΔ DOC: AO = OD (منتصف) وBO = OC (منتصف) و∠AOB = ∠DOC (متقابلتان بالرأس). إذن Δ AOB ≅ Δ DOC بحالة SAS ومنه AB = DC.
أثبت أن AAA لا تصح. ارسم مثلثًا زواياه ٦٠° و٦٠° و٦٠° وأضلاعه ٤ سم. ثم ارسم آخر بالزوايا نفسها وأضلاعه ٦ سم. هل يتطابقان؟ ثم ارسم زاوية ٣٠° وضلعًا طوله ٥ سم وضلعًا آخر طوله ٣ سم مقابلًا للزاوية ٣٠°. كم مثلثًا مختلفًا تستطيع أن ترسم؟
Practice
1
∠B = ∠E = ٣٥° و∠C = ∠F = ٧٥° وBC = EF = ٩. أي حالة؟
ASA: الضلع BC بين ∠B و∠C.
2
مثلثان قائما الزاوية وتر كل منهما ١٠ سم وأحد ضلعيه القائمين ٦ سم. هل هما متطابقان؟
نعم بحالة RHS. (والضلع القائم الآخر ٨ سم في كل منهما.)
3
لمثلثين الزوايا نفسها ٥٠° و٦٠° و٧٠°. هل هما متطابقان؟
ليس بالضرورة. AAA لا تثبت التطابق؛ فقد يكون أحدهما أكبر.
