الأسبوع 11 · The isosceles triangle: base angles, the equilateral triangle, axis of symmetry and the 30°–60°–90° triangle · 3 دروس
2
المثلث المتساوي الأضلاع ومحاور التماثل
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 3, Lesson 5
Goalأستخدم المثلث المتساوي الأضلاع ومحور التماثل: محور القطعة، والمنصّف والمتوسط والارتفاع التي تنطبق في المثلث المتساوي الساقين.
New words
مثلث متساوي الأضلاع · أضلاعه الثلاثة متساوية وزواياه الثلاث ٦٠°محور التماثل · خط يطوي الشكل على نفسهمحور القطعة · المستقيم العمودي على القطعة والمار بمنتصفهاعلى بُعدين متساويين · على البعد نفسه من نقطتين
Explanation
المثلث المتساوي الأضلاع تتساوى أضلاعه الثلاثة إذا وفقط إذا تساوت زواياه الثلاث. ولأن مجموع الزوايا ١٨٠° فكل زاوية ٦٠°. كل مثلث متساوي الأضلاع متساوي الساقين (ويمكن أخذ أي ضلع قاعدة) لكن المثلث المتساوي الساقين يكون متساوي الأضلاع فقط إذا تساوت أضلاعه كلها؛ ويكفي وجود زاوية ٦٠° واحدة فيه لأن الزاويتين الأخريين تصبحان ٦٠° أيضًا. محور تماثل قطعة هو المستقيم العمودي عليها المار بمنتصفها. وتقع نقطة على هذا المحور إذا وفقط إذا كانت على البعد نفسه من الطرفين. في المثلث المتساوي الساقين ABC حيث AB = AC تقع A على محور BC فالخط من A إلى منتصف BC (النقطة D) خط واحد هو في الوقت نفسه منصّف زاوية الرأس والمتوسط على القاعدة والارتفاع على القاعدة. وهو محور تماثل المثلث. ليس للمثلث المختلف الأضلاع محور، وللمتساوي الساقين محور واحد، وللمتساوي الأضلاع ثلاثة محاور كما في الرسم.
Worked examples
في مثلث متساوي الساقين AB = AC والزاوية A = ٦٠°. زاويتا القاعدة (١٨٠° − ٦٠°) ÷ ٢ = ٦٠° أيضًا فكل الزوايا ٦٠° والمثلث متساوي الأضلاع. إذا كان AB = ٧ سم فالمحيط ٣ × ٧ = ٢١ سم.
في Δ ABC المتساوي الساقين AB = AC = ١٣ سم وBC = ١٠ سم. الخط AD من A إلى منتصف BC (النقطة D) هو المتوسط والمنصّف والارتفاع فـAD ⊥ BC وBD = ٥ سم. إذن AD = √(١٣² − ٥²) = √١٤٤ = ١٢ سم. والمساحة ½ × ١٠ × ١٢ = ٦٠ سم².
النقطة P تبعد ٦ سم عن A وعن B وAB = ١٠ سم. إذن P على محور AB أي على العمودي من المنتصف M حيث AM = ٥ سم. والبعد PM = √(٣٦ − ٢٥) = √١١ سم أي نحو ٣٫٣ سم. أما النقطة Q التي تبعد ٤ سم عن A و٧ سم عن B فليست على بعدين متساويين فهي ليست على المحور.
Class activity
اطوِ المحاور. قصّ مثلثًا متساوي الأضلاع من الورق واطوِه لتجد كل محاور تماثله. كم محورًا لديه؟ ثم قصّ مثلثًا متساوي الساقين ليس متساوي الأضلاع وعُدّ من جديد. تحقق أن خط الطيّ يلاقي القاعدة في منتصفها وبزاوية قائمة.
Practice
1
محيط مثلث متساوي الأضلاع ٣٦ سم. أوجد ضلعه وكل زاوية.
الضلع ١٢ سم؛ كل زاوية ٦٠°.
2
في المثلث المتساوي الساقين ABC AB = AC = ١٧ سم وBC = ١٦ سم. أوجد الارتفاع من A.
