الأسبوع 1 · Real numbers: irrational numbers, estimating roots on the number line and the set R · 3 دروس
3
الأعداد الحقيقية R: السلسلة N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R والترتيب والمعادلات في R
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 1, Lesson 1
Goalأضع العدد في المجموعات الصحيحة، وأرتّب الأعداد الحقيقية، وأحل معادلات بسيطة في R وفي Q.
New words
الأعداد الحقيقية R · الأعداد النسبية وغير النسبية معًا: R = Q ∪ Q′الأعداد غير النسبية Q′ · أعداد حقيقية ليست نسبية؛ Q ∩ Q′ = ∅ينتمي وما لا ينتمي · ∈ تعني ينتمي إلى و∉ تعني لا ينتمي إلىمجموعة الحل · الأعداد من المجموعة المعطاة التي تحقق المعادلة
Explanation
إذا جمعنا الأعداد النسبية Q وغير النسبية Q′ حصلنا على الأعداد الحقيقية R = Q ∪ Q′. ولا يوجد عدد في المجموعتين معًا إذن Q ∩ Q′ = ∅. وتقع الأعداد الصحيحة Z داخل Q، والأعداد الطبيعية N (وتشمل ٠ في هذا الكتاب) داخل Z: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. نكتب ∈ إذا انتمى العدد إلى المجموعة و∉ إذا لم ينتمِ: √٢ ∈ Q′ و√٢ ∉ Q. ولترتيب الأعداد الحقيقية نكتبها كسورًا عشرية، أو نربّعها إذا كانت كلها موجبة: √١٢ و٤ و√٤٠ و٦ تصبح بعد التربيع ١٢ و١٦ و٤٠ و٣٦، إذن √١٢ < ٤ < ٦ < √٤٠. ولحل معادلة في مجموعة نبحث عن أعداد هذه المجموعة التي تحققها. المعادلة x² = ٥ تعطي x = √٥ أو x = −√٥ وكلاهما في R، لكن مجموعة الحل في Q خالية. والمعادلة x³ + ٩ = ٠ تعطي x = −∛٩ وهو في R وليس في Q. أما x² = −٤ فلا حل لها في R لأن المربع لا يكون سالبًا أبدًا.
العدد
N
Z
Q
Q′
R
٥
✓
✓
✓
–
✓
−٣
–
✓
✓
–
✓
٢/٣
–
–
✓
–
✓
√٢
–
–
–
✓
✓
√١٦
✓
✓
✓
–
✓
Worked examples
في أي المجموعات توجد الأعداد −٧ و٠٫٦ و√١٣ و√٤٩؟ −٧ في Z وQ وR وليس في N. ٠٫٦ = ٣/٥ في Q وR وليس في Z. √١٣ في Q′ وR فقط. √٤٩ = ٧ في N وZ وQ وR.
حل المعادلة x² − ٣ = ٢ في R ثم في Q. إذن x² = ٥ ومنها x = √٥ أو x = −√٥. مجموعة الحل في R هي {√٥, −√٥}. وفي Q هي ∅ لأن √٥ غير نسبي. وحل x² + ٤ = ٠ في R: x² = −٤ لا حل حقيقيًا لها، فالمجموعة ∅.
Class activity
فرز الأعداد. اكتب عشرة أعداد على قصاصات ورق، مثل ٧ و−٤ و١/٢ و٠٫٣ و√٢ و√١٦ وπ و∛٨ و∛٩ و١٫٥. ارسم أربعة صناديق N وZ وQ وQ′. ضع كل قصاصة في كل صندوق يحتويها. كم قصاصة تقع في Q′ في هذه الأعداد العشرة؟
Practice
1
اكتب ∈ أو ∉: √٩ __ Q؛ √١٠ __ Q؛ −٢ __ N؛ ٠ __ N.
√٩ = ٣ ∈ Q؛ √١٠ ∉ Q؛ −٢ ∉ N؛ ٠ ∈ N (N تشمل ٠ في هذا الكتاب).
2
رتّب من الأصغر إلى الأكبر: √٧ و٢٫٥ و٨/٣ و√٨.
