الأسبوع 1 · Real numbers: irrational numbers, estimating roots on the number line and the set R · 3 دروس
2
موضع العدد غير النسبي: تقدير الجذر بين عددين صحيحين
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 1, Lesson 1
Goalأقدّر الجذر التربيعي أو التكعيبي بين عددين صحيحين، وأحدد أيهما أقرب إليه، وأدقّق التقدير إلى منزلة عشرية واحدة.
New words
عددان متتاليان · عددان صحيحان أحدهما يلي الآخر مباشرة مثل ٣ و٤تقدير · قيمة قريبة من القيمة الدقيقة نصل إليها بتفكيرمنتصف · العدد الواقع في المنتصف تمامًا بين عددينيساوي تقريبًا (≈) · قريب من التساوي وليس مساويًا تمامًا
Explanation
لتحديد موضع √١١ على خط الأعداد نبحث عن المربعين الكاملين على جانبي ١١: ٩ < ١١ < ١٦ إذن ٣ < √١١ < ٤. ولنعرف أي عدد صحيح هو الأقرب نربّع المنتصف ٣٫٥: ٣٫٥² = ١٢٫٢٥ وهو أكبر من ١١، فـ√١١ أصغر من ٣٫٥ وأقرب إلى ٣. ثم نُدقّق: ٣٫٣² = ١٠٫٨٩ و٣٫٤² = ١١٫٥٦ إذن √١١ بين ٣٫٣ و٣٫٤. وبما أن ٣٫٣٥² = ١١٫٢٢٢٥ أكبر من ١١ فإن √١١ أقل من ٣٫٣٥، وإلى منزلة عشرية واحدة √١١ ≈ ٣٫٣. والجذور التكعيبية تُقدَّر بالطريقة نفسها بالمكعبات الكاملة: ٨ < ٢٠ < ٢٧ تعطي ٢ < ∛٢٠ < ٣. والآلة الحاسبة تؤكد الأرقام، لكن الطريقة تخبرك هل الإجابة معقولة.
Worked examples
بين أي عددين صحيحين يقع √٤٠ وأيهما أقرب إليه؟ ٣٦ < ٤٠ < ٤٩ إذن ٦ < √٤٠ < ٧. المنتصف ٦٫٥ يعطي ٦٫٥² = ٤٢٫٢٥ وهو أكبر من ٤٠، فـ√٤٠ أقرب إلى ٦. نُدقّق: ٦٫٣² = ٣٩٫٦٩ و٦٫٤² = ٤٠٫٩٦ إذن √٤٠ ≈ ٦٫٣ (لأن ٦٫٣٥² = ٤٠٫٣٢٢٥ أكبر من ٤٠).
قدّر ∛٢٠. ٢³ = ٨ و٣³ = ٢٧ إذن ٢ < ∛٢٠ < ٣. نجرب ٢٫٧³ = ١٩٫٦٨٣ و٢٫٨³ = ٢١٫٩٥٢: ∛٢٠ بين ٢٫٧ و٢٫٨، و٢٫٧٥³ = ٢٠٫٧٩٦٨٧٥ أكبر من ٢٠ إذن ∛٢٠ ≈ ٢٫٧ إلى منزلة عشرية واحدة.
حديقة زهور مربعة مساحتها ٥٠ م². طول ضلعها √٥٠ م. ٤٩ < ٥٠ < ٦٤ تعطي ٧ < √٥٠ < ٨. وأيضًا ٧٫٠² = ٤٩ و٧٫١² = ٥٠٫٤١ فالضلع بين ٧٫٠ و٧٫١ م. وبما أن ٧٫٠٥² = ٤٩٫٧٠٢٥ أقل من ٥٠ فالضلع أكبر من ٧٫٠٥ ويُقرَّب إلى ٧٫١ م.
Class activity
شريط الجذور. قصّ شريطًا من الورق طوله ١٢ سم وعلّم عليه الأعداد من ٠ إلى ٦ بحيث تكون الوحدة ٢ سم. باستخدام الآلة الحاسبة علّم √٢ و√٥ و√١٠ و√٢٠، ثم تحقق من كل علامة بالمربعين الكاملين على جانبيها.
Practice
1
بين أي عددين صحيحين يقع √٢٩؟ وأيهما أقرب إليه؟
٢٥ < ٢٩ < ٣٦ إذن ٥ < √٢٩ < ٦. ٥٫٥² = ٣٠٫٢٥ أكبر من ٢٩ فـ√٢٩ أقرب إلى ٥.
2
أي عدد صحيح أقرب إلى ∛٥٠؟ كعّب منتصف ٣ و٤.
٢٧ < ٥٠ < ٦٤ تعطي ٣ < ∛٥٠ < ٤. ٣٫٥³ = ٤٢٫٨٧٥ أقل من ٥٠ فـ∛٥٠ أكبر من ٣٫٥ وأقرب إلى ٤.
3
استخدم ٢٫٢² = ٤٫٨٤ و٢٫٣² = ٥٫٢٩ لتعطي √٥ إلى منزلة عشرية واحدة.
√٥ بين ٢٫٢ و٢٫٣. ٢٫٢٥² = ٥٫٠٦٢٥ أكبر من ٥ فـ√٥ أقل من ٢٫٢٥ و√٥ ≈ ٢٫٢.
4
هل √١٧ أقرب إلى ٤ أم إلى ٥؟ استخدم المنتصف ٤٫٥.
٤٫٥² = ٢٠٫٢٥ أكبر من ١٧ إذن √١٧ < ٤٫٥ وهو أقرب إلى ٤.
5
بلاطة مربعة مساحتها ٣٠ سم². قدّر طول ضلعها إلى منزلة عشرية واحدة.
٥٫٤² = ٢٩٫١٦ و٥٫٥² = ٣٠٫٢٥ فالضلع بين ٥٫٤ و٥٫٥ سم. ٥٫٤٥² = ٢٩٫٧٠٢٥ أقل من ٣٠ فيُقرَّب الضلع إلى ٥٫٥ سم.
