2
تجزئة الحد الأوسط لتحليل ax² + bx + c
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 2, Lesson 4
Goalأحلّل ax² + bx + c حيث a ≠ ١ بتجزئة الحد الأوسط إلى حدين ثم التجميع.
New words
تجزئة الحد الأوسط · كتابة bx على صورة مجموع حدينحاصل الضرب a × c · يجب أن يكون حاصل ضرب العددين a × cالمجموع b · ومجموعهما bتحقق · فُك القوسين وقارن بالأصل
Explanation
لتحليل ٣x² + ٨x + ٤ دون تخمين: نضرب المعامل الأول في الأخير ٣ × ٤ = ١٢. نبحث عن عددين حاصل ضربهما ١٢ ومجموعهما ٨: هما ٢ و٦. نجزّئ الحد الأوسط: ٣x² + ٢x + ٦x + ٤. ثم نجمع: x(٣x + ٢) + ٢(٣x + ٢) = (٣x + ٢)(x + ٢). ويبين جدول الأزواج لماذا اخترنا ٢ و٦. والإشارات كما سبق: إذا كان حاصل الضرب a × c سالبًا فللعددين إشارتان مختلفتان. في ٢x² + x − ٦ حاصل الضرب −١٢ والمجموع ١ فالعددان ٤ و−٣: ٢x² + ٤x − ٣x − ٦ = ٢x(x + ٢) − ٣(x + ٢) = (x + ٢)(٢x − ٣). وإذا أعطى التجميع قوسين مختلفين جرّب ترتيب العددين الآخر.
| زوج حاصل ضربه ١٢ | المجموع |
|---|---|
| ١, ١٢ | ١٣ |
| ٢, ٦ | ٨ |
| ٣, ٤ | ٧ |
Worked examples
حلّل ٦x² − ١٣x + ٦. حاصل الضرب ٦ × ٦ = ٣٦ والمجموع −١٣: العددان −٤ و−٩. ٦x² − ٤x − ٩x + ٦ = ٢x(٣x − ٢) − ٣(٣x − ٢) = (٣x − ٢)(٢x − ٣).
حلّل ٢x² + x − ٦. حاصل الضرب −١٢ والمجموع ١: العددان ٤ و−٣. ٢x² + ٤x − ٣x − ٦ = ٢x(x + ٢) − ٣(x + ٢) = (x + ٢)(٢x − ٣). تحقق: ٢x² − ٣x + ٤x − ٦.
حل ٣x² + ٨x + ٤ = ٠. تُحلَّل إلى (٣x + ٢)(x + ٢) = ٠. إذن ٣x + ٢ = ٠ أو x + ٢ = ٠ فيكون x = −٢/٣ أو x = −٢. تحقق من x = −٢: ١٢ − ١٦ + ٤ = ٠.
Class activity
البحث عن زوج الأعداد. في ٢x² + ٧x + ٣ اكتب الأزواج التي حاصل ضربها ٦ وأوجد الزوج الذي مجموعه ٧. جزّئ الحد الأوسط وحلّل. ثم افعل الشيء نفسه مع ٥x² + ١١x + ٢.
Practice
1
حلّل ٢x² + ٧x + ٣.
العددان ١ و٦: ٢x² + x + ٦x + ٣ = (٢x + ١)(x + ٣).
2
حلّل ٥x² − ١٧x + ٦.
العددان −١٥ و−٢: ٥x(x − ٣) − ٢(x − ٣) = (x − ٣)(٥x − ٢).
3
حلّل ٤x² − ٨x − ٥.
العددان −١٠ و٢: ٢x(٢x − ٥) + (٢x − ٥) = (٢x − ٥)(٢x + ١).
4
حلّل ٣x² − x − ٢.
العددان −٣ و٢: ٣x(x − ١) + ٢(x − ١) = (x − ١)(٣x + ٢).
5
حل ٤x² + ٨x + ٣ = ٠.
(٢x + ١)(٢x + ٣) = ٠ إذن x = −١/٢ أو x = −٣/٢.