Week 11 · The isosceles triangle: base angles, the equilateral triangle, axis of symmetry and the 30°–60°–90° triangle · 3 lessons
3
المثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠° ومسائل على المثلثات المتساوية الساقين
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 3, Lesson 5
Goalأستخدم المثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°: الضلع المقابل للزاوية ٣٠° نصف الوتر، وأحل مسائل على الارتفاعات والمساحات في المثلثات المتساوية الساقين والمتساوية الأضلاع.
New words
المثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠° · مثلث قائم الزاوية زاويتاه الحادتان ٣٠° و٦٠°الضلع القصير · الضلع المقابل للزاوية ٣٠°؛ وهو نصف الوترالضلع الطويل · الضلع المقابل للزاوية ٦٠°؛ وهو الضلع القصير × √٣الارتفاع · البعد العمودي من رأس إلى الضلع المقابل
Explanation
اقطع مثلثًا متساوي الأضلاع نصفين على محور تماثله فتحصل على مثلث قائم الزاوية زواياه ٣٠° و٦٠° و٩٠°. الضلع القصير نصف ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فالضلع المقابل للزاوية ٣٠° نصف الوتر. إذا كان الوتر ١٠ فالضلع القصير ٥. والضلع الطويل من فيثاغورس: √(١٠² − ٥²) = √٧٥ = ٥√٣ أي نحو ٨٫٦٦. فالأضلاع الثلاثة بنسبة ١ : √٣ : ٢. في الرسم الأضلاع ٥ و٥√٣ و١٠. تذكر أي ضلع هو: قاعدة النصف للضلع المقابل للزاوية ٣٠° وهو أقصر ضلع وليس الضلع الأطول. وتصلح القاعدة في المثلث القائم الذي فيه زاوية ٣٠° فقط. أما المثلث القائم المتساوي الساقين فمختلف: زاويتاه الحادتان ٤٥° و٤٥°.
سلّم طوله ٨ م يصنع زاوية ٦٠° مع الأرض ويصل رأسه إلى حائط، فالمثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠° والسلّم هو الوتر. قدم السلّم مقابلة للزاوية ٣٠° فتبعد ٨ ÷ ٢ = ٤ م عن الحائط. والارتفاع الذي يصل إليه √(٦٤ − ١٦) = √٤٨ = ٤√٣ أي نحو ٦٫٩ م.
سطح سقف على شكل مثلث متساوي الساقين ساقاه ١٠ م وزاوية رأسه ١٢٠°. ارتفاع الرأس ينصّف الزاوية إلى زاويتين ٦٠° ويلاقي القاعدة في منتصفها فنحصل على مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠° وتره ١٠ م. زاويتا القاعدة ٣٠° فالارتفاع المقابل لـ٣٠° يساوي ٥ م. نصف القاعدة ٥√٣ فالقاعدة ١٠√٣ أي نحو ١٧٫٣ م. والمساحة ½ × ١٠√٣ × ٥ = ٢٥√٣ أي نحو ٤٣٫٣ م².
Class activity
نصف مثلث. قصّ مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه ١٠ سم وقصّه على أحد محاوره. قس الضلع القصير والضلع الطويل والوتر في أحد النصفين. تحقق أن الضلع القصير نصف الوتر وأن الضلع الطويل نحو ٨٫٧ سم.
