2
تحليل ثلاثيات الحدود x² + bx + c
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 2, Lessons 1–2
Goalأحلّل x² + bx + c بإيجاد عددين حاصل ضربهما c ومجموعهما b مع مراعاة قواعد الإشارات.
New words
ثلاثية الحدود · عبارة من ثلاثة حدود مثل x² + ٧x + ١٢حاصل الضرب والمجموع · نريد p × q = c وp + q = bقواعد الإشارات · c > ٠: العددان بإشارة b؛ c < ٠: إشارتاهما مختلفتانتحقق · فُك القوسين وقارن
Explanation
(x + p)(x + q) = x² + (p + q)x + pq. ولتحليل x² + bx + c نبحث عن عددين p وq حاصل ضربهما c ومجموعهما b. في x² + ٧x + ١٢ أزواج حاصل ضربها ١٢ هي ١ × ١٢ و٢ × ٦ و٣ × ٤، و٣ + ٤ = ٧ إذن x² + ٧x + ١٢ = (x + ٣)(x + ٤). الإشارات: إذا كان c موجبًا فللعددين إشارة b نفسها (موجبان أو سالبان). وإذا كان c سالبًا فإشارتاهما مختلفتان، والأكبر في القيمة المطلقة له إشارة b. اكتب الأزواج في جدول لتتأكد. وإذا كان المعامل الأول سالبًا نُخرج −١ أولًا: −x² + ٣x + ٤٠ = −(x² − ٣x − ٤٠) = −(x − ٨)(x + ٥). وتحقق دائمًا بالفك.
| زوج حاصل ضربه −١٨ | المجموع |
|---|---|
| ١, −١٨ | −١٧ |
| −١, ١٨ | ١٧ |
| ٢, −٩ | −٧ |
| −٢, ٩ | ٧ |
| ٣, −٦ | −٣ |
| −٣, ٦ | ٣ |
Worked examples
حلّل x² − ٥x + ٦. حاصل الضرب ٦ والمجموع −٥: العددان سالبان −٢ و−٣. إذن x² − ٥x + ٦ = (x − ٢)(x − ٣). تحقق: x² − ٣x − ٢x + ٦.
حلّل x² − ٧x − ١٨. حاصل الضرب −١٨ والمجموع −٧. يبين الجدول أن الزوج ٢ و−٩ يحقق ذلك. إذن x² − ٧x − ١٨ = (x + ٢)(x − ٩).
حلّل x² + ٥xy + ٦y². الفكرة نفسها مع y: حاصل ضرب العددين ٦ ومجموعهما ٥ فهما ٢ و٣ والناتج (x + ٢y)(x + ٣y). تحقق: x² + ٣xy + ٢xy + ٦y².
Class activity
بطاقات أزواج العوامل. اكتب أزواج الأعداد الصحيحة التي حاصل ضربها ٢٤ على بطاقات. لكل قيمة b = ١٠, ١١, ١٢, ١٤ أوجد الزوج الذي مجموعه b واكتب x² + bx + ٢٤ على صورة قوسين. أي قيمة من b لا زوج لها؟
Practice
1
حلّل x² + ٩x + ٢٠.
(x + ٤)(x + ٥).
2
حلّل x² − ٨x + ١٥.
(x − ٣)(x − ٥).
3
حلّل x² + x − ١٢.
(x + ٤)(x − ٣).
4
حلّل x² − ٢x − ٢٤.
(x − ٦)(x + ٤).
5
يكتب كريم x² + ٥x + ٦ = (x + ١)(x + ٦). تحقق منه بالفك.
(x + ١)(x + ٦) = x² + ٧x + ٦ وليس x² + ٥x + ٦. الزوج الصحيح ٢ و٣: (x + ٢)(x + ٣).