2
المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي والمرافق وجعل المقام نسبيًا
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 1, Lessons 3–4
Goalأوجد المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي لعدد جذري، وأستخدم المرافق للتخلص من الجذر في المقام.
New words
المعكوس الجمعي · العدد الذي مجموعه مع العدد المعطى صفر: معكوس a هو −aالمعكوس الضربي · العدد الذي حاصل ضربه في العدد المعطى ١: معكوس a هو ١/a (a ≠ ٠)مرافقان · a + √b وa − √bجعل المقام نسبيًا · إزالة الجذر من المقام
Explanation
المعكوس الجمعي للعدد الحقيقي x هو −x، فمعكوس ٣√٢ هو −٣√٢ ومعكوس √٥ − ١ هو ١ − √٥. والمعكوس الضربي هو ١/x حيث x ≠ ٠. ولـ٣√٢ هو ١/(٣√٢)؛ نضرب البسط والمقام في √٢ لنزيل الجذر من المقام: √٢/(٣ × ٢) = √٢/٦. وللعدد ٢ − √٣ نستخدم مرافقه ٢ + √٣. العددان a + √b وa − √b حاصل ضربهما عدد نسبي هو a² − b: (٢ − √٣)(٢ + √٣) = ٤ − ٣ = ١. إذن ١/(٢ − √٣) = (٢ + √٣)/((٢ − √٣)(٢ + √٣)) = ٢ + √٣. وضرب البسط والمقام في العدد نفسه لا يغير قيمة الكسر.
ƒFormula
(a + √b)(a − √b) = a² − b
حاصل ضرب المرافقين لا جذر فيه.
Worked examples
أوجد المعكوس الضربي لكل من ٣√٢ و√٥ + ١. الأول: ١/(٣√٢) = √٢/(٣√٢ × √٢) = √٢/٦. الثاني: ١/(√٥ + ١) = (√٥ − ١)/((√٥ + ١)(√٥ − ١)) = (√٥ − ١)/(٥ − ١) = (√٥ − ١)/٤.
ليكن x = √٥ − ٢ وy = √٥ + ٢. إذن x − y = −٤ وx + y = ٢√٥ فـx² − y² = (x − y)(x + y) = −٤ × ٢√٥ = −٨√٥. وأيضًا x² = ٩ − ٤√٥ وy² = ٩ + ٤√٥ فـx² + y² = ١٨.
مستطيل ضلعاه ٣ + √٢ و٣ − √٢ سم. مساحته (٣ + √٢)(٣ − √٢) = ٩ − ٢ = ٧ سم²، ومحيطه ٢(٣ + √٢ + ٣ − √٢) = ١٢ سم. وتحذف الجذور في الحالتين.
Class activity
اختبار بالآلة الحاسبة. أوجد الكسرين العشريين لـ١/(٢ − √٣) و٢ + √٣. يجب أن يتفقا: ٣٫٧٣٢٠…. ثم جرّب ١/(√٥ + ١) و(√٥ − ١)/٤: يجب أن يظهر ٠٫٣٠٩٠… في كليهما.
Practice
1
اكتب المعكوس الجمعي لـ٤ − √٧.
−(٤ − √٧) = √٧ − ٤.
2
أوجد المعكوس الضربي لـ٥√٣.
١/(٥√٣) = √٣/١٥.
3
اجعل مقام ١/(٣ + √٥) نسبيًا.
(٣ − √٥)/(٩ − ٥) = (٣ − √٥)/٤.
4
بسّط ٣/(√٧ − ٢).
٣(√٧ + ٢)/(٧ − ٤) = √٧ + ٢.
5
ليكن x = √٣ + ١ وy = √٣ − ١. أوجد xy وx² + y².
xy = ٣ − ١ = ٢. x² = ٤ + ٢√٣ وy² = ٤ − ٢√٣ إذن x² + y² = ٨.