2
القطعة المتوسطة في المثلث: توازي الضلع الثالث وطولها نصف طوله
Mathematics Prep 2 Term 1, Unit 3, Lessons 3–4
Goalأستخدم القطعة المتوسطة: توازي الضلع الثالث وطولها نصف طوله، لإيجاد أطوال ومحيطات وأضلاع أشكال تنشأ من منتصفات.
New words
القطعة المتوسطة · القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلثالضلع الثالث · الضلع الذي لا تمسّه القطعة المتوسطة وهو الذي توازيهالمحيط · مجموع أطوال الأضلاع كلهامتوازي الأضلاع · شكل رباعي كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان
Explanation
القطعة المتوسطة DE تصل بين D منتصف AB وE منتصف AC. حسب الدرس السابق المستقيم المار بـD الموازي لـBC يمر بمنتصف AC وهو E. إذن DE ∥ BC. وأيضًا DE = ½ BC. في المثلث ثلاث قطع متوسطة تقسمه إلى أربعة مثلثات صغيرة متطابقة. قاعدة النصف تخص الضلع الذي توازيه القطعة: إذا كان BC = ١٢ سم فإن DE = ٦ سم، وليست نصف AB أو AC. وبالعكس إذا كانت DE قطعة متوسطة وDE = ٥ سم فالضلع الموازي لها BC = ١٠ سم. يجب أن يكون طرفا القطعة منتصفين. فالقطعة الموازية لـBC من نقطة ليست منتصفًا لا تساوي نصف BC.
Worked examples
أضلاع Δ ABC هي ١٠ سم و١٤ سم و١٨ سم. النقاط D وE وF منتصفات الأضلاع. القطع المتوسطة نصف الأضلاع التي توازيها: ٥ سم و٧ سم و٩ سم. محيط Δ DEF هو ٥ + ٧ + ٩ = ٢١ سم وهو نصف محيط Δ ABC (٤٢ سم).
مثلث قائم الزاوية ضلعاه القائمان ٦ سم و٨ سم. الوتر √(٣٦ + ٦٤) = ١٠ سم. القطعة المتوسطة الموازية للوتر ٥ سم، والموازية للضلع ٨ سم هي ٤ سم، والموازية للضلع ٦ سم هي ٣ سم. وهذه الأنصاف ٣ و٤ و٥ تكوّن مثلثًا قائم الزاوية أيضًا.
في الرباعي ABCD القطران AC = ١٠ سم وBD = ١٤ سم. النقاط P وQ وR وS منتصفات AB وBC وCD وDA. في Δ ABC القطعة PQ متوسطة إذن PQ = ٥ وPQ ∥ AC. وفي Δ ADC القطعة SR متوسطة إذن SR = ٥ وSR ∥ AC. فالقطعتان PQ وSR متساويتان ومتوازيتان. وبالطريقة نفسها QR = PS = ٧ سم (نصف BD). محيط PQRS هو ٥ + ٧ + ٥ + ٧ = ٢٤ سم. والشكل PQRS متوازي أضلاع.
Class activity
اطوِ مثلثًا. قصّ مثلثًا من الورق. اطوِ أحد الرؤوس على الضلع المقابل بحيث يمر الطيّ بمنتصفي ضلعين. قس خط الطيّ والضلع الثالث. كيف يتقارنان؟ كرّر ذلك على مثلث ثانٍ.
Practice
1
في Δ ABC النقطتان D وE منتصفا AB وAC وBC = ١٨ سم. أوجد DE.
DE = ½ × ١٨ = ٩ سم.
2
القطعة المتوسطة DE طولها ٧٫٥ سم وتوازي BC. أوجد BC.
BC = ٢ × ٧٫٥ = ١٥ سم.
3
مثلث أضلاعه ١٢ و١٦ و٢٠ سم. أوجد محيط المثلث الناتج عن المنتصفات الثلاثة.
أضلاعه ٦ و٨ و١٠ سم فمحيطه ٢٤ سم (نصف ٤٨).
4
في Δ ABC النقطتان D وE منتصفا AB وAC وDE = ٢x + ٣ وBC = ٥x − ٤. أوجد x وBC.
BC = ٢ DE إذن ٥x − ٤ = ٤x + ٦ وx = ١٠. BC = ٤٦.
5
في رباعي القطران ٨ سم و٦ سم. أوجد محيط الرباعي الناتج عن منتصفات الأضلاع.
أضلاعه ٤ و٣ و٤ و٣ سم فمحيطه ١٤ سم.