الأسبوع 7 · The cube roots of unity: the three roots, their properties, evaluating expressions and proving identities with ω · 3 دروس
1
الجذور التكعيبية للواحد الصحيح: الجذور الثلاثة والرمز ω وموضعها على دائرة الوحدة
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 3
Goalأوجد الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد ١، وأسميها ١, ω, ω²، وأمثلها على دائرة الوحدة.
New words
الجذر التكعيبي للواحد · عدد Z يحقق Z³ = ١؛ وله ثلاثة جذور بالضبطω (أوميجا) · اسم للجذر الذي سعته ١٢٠°: ω = −١/٢ + (√٣/٢)iدائرة الوحدة · الدائرة التي نصف قطرها ١ ومركزها نقطة الأصل
Explanation
الواحد الصحيح هو العدد ١، فالجذور التكعيبية للواحد الصحيح هي حلول المعادلة Z³ = ١ الثلاثة. نستعمل طريقة الدرس السابق: ١ = cos ٠° + i sin ٠° فيكون Z = cos(١٢٠°k) + i sin(١٢٠°k) حيث k = ٠, ١, ٢. والجذور الثلاثة هي ١ وcos ١٢٠° + i sin ١٢٠° = −١/٢ + (√٣/٢)i وcos ٢٤٠° + i sin ٢٤٠° = −١/٢ − (√٣/٢)i. ويعطي الجبر النتيجة نفسها: Z³ − ١ = (Z − ١)(Z² + Z + ١) = ٠ فإما Z = ١ أو Z جذر للمعادلة Z² + Z + ١ = ٠ أي Z = (−١ ± √٣ i)/٢. نسمي الجذر الذي سعته ١٢٠° بالحرف اليوناني ω (أوميجا): ω = −١/٢ + (√٣/٢)i. وبتربيعه نجد ω² = ١/٤ − ٣/٤ − (√٣/٢)i = −١/٢ − (√٣/٢)i وهو الجذر الثالث. إذن يمكن دائمًا كتابة الجذور التكعيبية للواحد الصحيح هكذا: ١, ω, ω² مع ω³ = ١. ومقياس كل منها ١ فتقع على دائرة الوحدة بينها ١٢٠°، وهي رءوس مثلث متساوي الأضلاع.
Worked examples
حل المعادلة Z³ = ١ جبريًّا. Z³ − ١ = (Z − ١)(Z² + Z + ١). العامل Z − ١ يعطي Z = ١. ومن العامل الثاني Z = (−١ ± √(١ − ٤))/٢ = (−١ ± √٣ i)/٢. وهما ω وω².
تحقق من ω³ = ١ مباشرة. ω³ = ω²·ω = (−١/٢ − (√٣/٢)i)(−١/٢ + (√٣/٢)i). وهذا من الصورة (a − bi)(a + bi) = a² + b² أي ١/٤ + ٣/٤ = ١. ✓
أوجد ضلع المثلث الذي رءوسه ١, ω, ω² ومساحته. المسافة من ١ إلى ω هي |ω − ١| = |−٣/٢ + (√٣/٢)i| = √(٩/٤ + ٣/٤) = √٣. ومساحة مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه √٣ تساوي (√٣/٤)(√٣)² = ٣√٣/٤.
Class activity
قصّ وأدر. ارسم دائرة الوحدة بنصف قطر ٥ سم، وعيّن النقطة ١، ثم عيّن ω وω² بالمنقلة (بخطوات ١٢٠°). صل النقاط الثلاث وقس ضلعًا: يجب أن يقارب ٥√٣ ≈ ٨٫٧ سم.
Practice
1
تحقق من أن ω = −١/٢ + (√٣/٢)i يحقق ω² + ω + ١ = ٠ مستعملًا الصورة الجبرية للعدد ω².
