نظرية ديموافر والجذور النونية والجذور التربيعية للأعداد المركبة
Answers are for parents and teachers.
1
أوجد (√٣ + i)⁹ بالصورة a + bi.
المقياس ٢ والسعة ٣٠°. فالناتج ٢⁹(cos ٢٧٠° + i sin ٢٧٠°) = ٥١٢(٠ − i) = −٥١٢i.
2
استخدم الجزء التخيلي للعدد (c + is)⁵ لإثبات أن sin ٥θ = ١٦s⁵ − ٢٠s³ + ٥s. (إرشاد: c² = ١ − s².)
الحدود التخيلية في النشر تعطي sin ٥θ = ٥c⁴s − ١٠c²s³ + s⁵. وبوضع c² = ١ − s²: ٥s(١ − s²)² − ١٠s³(١ − s²) + s⁵ = ٥s − ١٠s³ + ٥s⁵ − ١٠s³ + ١٠s⁵ + s⁵ = ١٦s⁵ − ٢٠s³ + ٥s.
3
حل المعادلة Z³ = −٦٤i بالصورة الجبرية، وبيّن الشكل الذي تكوّنه الجذور.
−٦٤i = ٦٤(cos(−٩٠°) + i sin(−٩٠°)) فالمقياس ٤ والسعات (−٩٠° + ٣٦٠°k)/٣ = −٣٠°, ٩٠°, ٢١٠°. الجذور ٢√٣ − ٢i و٤i و−٢√٣ − ٢i، وهي رءوس مثلث متساوي الأضلاع.
4
أوجد الجذرين التربيعيين للعدد −٢٤ + ١٠i.
x² − y² = −٢٤ وx² + y² = ٢٦ فيكون x² = ١ وy² = ٢٥؛ و٢xy = ١٠ موجب فالإشارتان متفقتان: ±(١ + ٥i). التحقق: ١ − ٢٥ + ١٠i.
5
حل المعادلة z² + (١ − ٢i)z − ٢i = ٠.
المميز (١ − ٢i)² + ٨i = −٣ − ٤i + ٨i = −٣ + ٤i وجذراه التربيعيان ±(١ + ٢i). ثم z = (−١ + ٢i ± (١ + ٢i))/٢: z = ٢i أو z = −١.