الجذور التكعيبية للواحد الصحيح: ω وخواصها واستعمالاتها
Answers are for parents and teachers.
1
أوجد قيمة (١ + ٢ω + ٣ω²)(١ + ٣ω + ٢ω²).
ننشر ونختزل: ١ + ٣ω + ٢ω² + ٢ω + ٦ω² + ٤ω³ + ٣ω² + ٩ω³ + ٦ω⁴ = ١٤ + ١١ω + ١١ω² (باستعمال ω³ = ١ وω⁴ = ω). ثم ١٤ + ١١(ω + ω²) = ١٤ − ١١ = ٣.
2
أوجد ω⁻¹⁰ + ω⁻²⁰.
ω⁻¹⁰ = ١/ω¹⁰ = ١/ω = ω² وω⁻²⁰ = ١/ω²⁰ = ١/ω² = ω. فالمجموع ω + ω² = −١.
3
أثبت أن [(٧ + ٣ω)/(٧ω² + ٣) − (٥ + ٢ω²)/(٥ω + ٢)]⁴ = ٩.
٧ + ٣ω = ω(٧ω² + ٣) فالكسر الأول ω. و٥ + ٢ω² = ω²(٥ω + ٢) فالثاني ω². القوس ω − ω² = √٣ i و(√٣ i)⁴ = ٩.
4
أثبت أن x = ω² جذر للمعادلة x²⁰ + x¹⁰ + ١ = ٠.
(ω²)²⁰ = ω⁴⁰ = ω (٤٠ = ٣٩ + ١) و(ω²)¹⁰ = ω²⁰ = ω² (٢٠ = ١٨ + ٢). فالمجموع ω + ω² + ١ = ٠.
5
كوّن المعادلة التربيعية التي جذراها ٣ + ω و٣ + ω².
المجموع: ٦ + (ω + ω²) = ٥. حاصل الضرب: ٩ + ٣(ω + ω²) + ω³ = ٩ − ٣ + ١ = ٧. المعادلة x² − ٥x + ٧ = ٠.