مراجعة الفصل الدراسي الأول: ذات الحدين والأعداد المركبة والمتجهات والمستقيمات والمستويات
الأسبوع 15 · Term 1 review · 3 دروس
1
مراجعة: مفكوك ذات الحدين وحدوده ومعاملاته
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Units 1–4, Review
Goalأراجع نظرية ذات الحدين وأختار الأداة المناسبة للحدود والمعاملات والنسب والحد الأكبر.
New words
الحد العام · T(r+١) = nCr xⁿ⁻ʳ aʳ وهو الحد الذي يكون فيه الرقم السفلي rالحد الخالي من x · الحد الذي فيه x⁰: أس x في T(r+١) يساوي ٠الحد الأكبر · يُعيَّن من النسبة T(r+١)/T(r) ≥ ١
Explanation
تعطينا الأسابيع من الأول إلى الثالث نظرية واحدة وعدة طرق لاستعمالها. المفكوك (x + a)ⁿ فيه n + ١ حدًا وحده العام T(r+١) = nCr xⁿ⁻ʳ aʳ مع عدّ r من ٠. اقرأ السؤال أولًا: «الحد» يشمل أس x و«المعامل» هو العدد الذي أمامه و«الأس» هو الأس فقط. وللحد المعدود من النهاية حوّله إلى رتبة معدودة من البداية. وللحدود التي فيها أس معين لـ x اكتب T(r+١) مع وضع كل جزء من a بين قوسين، وبسّط أس x وساوه بـ k وحل لإيجاد r، ولا تقبل r إلا إذا كان عددًا صحيحًا من ٠ إلى n؛ والحد الخالي من x هو الحالة k = ٠. وعدد الحدود الوسطى يتوقف على كون n زوجيًا (حد واحد) أو فرديًا (حدان). وتستعمل النسب T(r+١)/T(r) = ((n − r + ١)/r) · (a/x)؛ ولإيجاد الحد الأكبر حل هذه النسبة ≥ ١ بالنسبة إلى r، وإذا تناوبت الإشارات فقارن الأحجام أولًا. ومجموع المعاملات يُحصل عليه بوضع x = ١. احتفظ بالجدول كقائمة مراجعة: قبل الحساب حدد في أي صف يقع سؤالك.
اجمع أس x وساوه بـ k (أو ٠) واحسب r: عدد صحيح من ٠ إلى n
النسبة بين حدين
T(r+١)/T(r) = ((n − r + ١)/r) · (a/x)
الحد الأكبر
حل T(r+١)/T(r) ≥ ١ بالنسبة إلى r (قارن الأحجام إذا تناوبت الإشارات)
مجموع المعاملات
ضع x = ١؛ والمجموع المتناوب: x = −١
Worked examples
في (٢x − ٣/x²)⁹ يكون T(r+١) = ٩Cr (٢x)⁹⁻ʳ (−٣/x²)ʳ فأس x هو ٩ − r − ٢r = ٩ − ٣r. الحد الخالي من x يتطلب ٩ − ٣r = ٠ أي r = ٣: ٩C٣ · ٢⁶ · (−٣)³ = ٨٤ × ٦٤ × (−٢٧) = −١٤٥١٥٢. ومعامل x³ يتطلب r = ٢: ٩C٢ · ٢⁷ · ٩ = ٣٦ × ١٢٨ × ٩ = ٤١٤٧٢. وللأس ٢: ٩ − ٣r = ٢ يعطي r = ٧/٣ فلا يوجد حد كهذا.
الحد الأكبر في (٥ + ٣x)⁷ عند x = ١. T(r+١)/T(r) = ((٨ − r)/r) × ٣/٥ ≥ ١ يعطي ٣(٨ − r) ≥ ٥r أي r ≤ ٣. وعند r = ٣ تساوي النسبة ١ تمامًا فيكون T٤ = T٣ وكلاهما أكبر حد: ٧C٢ · ٥⁵ · ٣² = ٢١ × ٣١٢٥ × ٩ = ٥٩٠٦٢٥ و٧C٣ · ٥⁴ · ٣³ = ٣٥ × ٦٢٥ × ٢٧ = ٥٩٠٦٢٥.
ثلاثة معاملات متتالية في (١ + x)ⁿ هي ١٢٠ و٢١٠ و٢٥٢. مع nC(r−١) وnCr وnC(r+١): (n − r + ١)/r = ٢١٠/١٢٠ = ٧/٤ و(n − r)/(r + ١) = ٢٥٢/٢١٠ = ٦/٥. الأولى تعطي ٤n + ٤ = ١١r والثانية ٥n = ١١r + ٦. وبالطرح نجد n = ١٠ ثم r = ٤. فعلًا ١٠C٣ = ١٢٠ و١٠C٤ = ٢١٠ و١٠C٥ = ٢٥٢.
Class activity
ابنِ اختبارك بنفسك. اختر ذا حدين صغيرًا مثل (x + ١/x)⁶. اكتب حدوده السبعة، وأوجد الحد الخالي من x والحد الأوسط، وتحقق أن مجموع المعاملات ٢⁶ = ٦٤. ثم أعطه لشخص آخر ليحله.
Practice
1
أوجد الحد الثالث من النهاية في (x + ٢/x)¹¹.
الحد الثالث من النهاية هو الحد رقم ١١ + ٢ − ٣ = ١٠ من البداية: r = ٩. T١٠ = ١١C٩ x² (٢/x)⁹ = ٥٥ × ٥١٢ x⁻⁷ = ٢٨١٦٠ x⁻⁷.
