نظرية ديموافر والجذور النونية والجذور التربيعية للأعداد المركبة

رأيت الأسبوع الماضي أن ضرب عددين مركبين بالصورة المثلثية يضرب المقياسين ويجمع السعتين. وإذا ضربنا عددًا في نفسه ⁦n⁩ مرة رُفع مقياسه إلى القوة ⁦n⁩ وجُمعت سعته ⁦n⁩ مرة. وللعدد الواقع على دائرة الوحدة هذه هي نظرية ديموافر: ⁦(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ⁩ حيث ⁦n = ١‎, ٢‎, ٣‎, …⁩ (يكتب الكتاب جتا وجا بدلًا من cos وsin، ويكتب ت بدلًا من i). وهي تعطي القوى مباشرة دون ضرب متكرر. وإذا لم يكن العدد بالصورة المثلثية فأوجد مقياسه ⁦r⁩ وسعته ⁦θ⁩ أولًا، فتكون القوة ⁦rⁿ(cos nθ + i sin nθ)⁩، ويمكن اختزال أي سعة تزيد على ⁦٣٦٠‎°⁩ بطرح لفات كاملة. وللنظرية استخدام ثانٍ: يمكن أيضًا نشر الطرف الأيسر بنظرية ذات الحدين من الوحدة الأولى مع تذكر أن ⁦i² = −١‎⁩ و⁦i³ = −i⁩ و⁦i⁴ = ١‎⁩. والنشران يمثلان العدد المركب نفسه، فيتساوى الجزآن الحقيقيان ويتساوى الجزآن التخيليان. ومن الجزء الحقيقي نحصل على ⁦cos nθ⁩ ومن الجزء التخيلي على ⁦sin nθ⁩ مكتوبين بدلالة قوى ⁦cos θ⁩ و⁦sin θ⁩. ولتقصير الأسطر نكتب ⁦c⁩ بدلًا من ⁦cos θ⁩ و⁦s⁩ بدلًا من ⁦sin θ⁩. عند ⁦n = ٢‎⁩ يكون ⁦(c + is)² = c² − s² + ٢‎cs·i⁩ فنجد ⁦cos ٢‎θ = c² − s²⁩ و⁦sin ٢‎θ = ٢‎sc⁩، وهما صيغتان تعرفهما. وفي النهاية نستعمل ⁦s² + c² = ١‎⁩ لنحذف أحد الحرفين إذا أردنا حرفًا واحدًا فقط.