ضرب متجه في عدد حقيقي، وتساوي المتجهين، ومتجه الوحدة
ضرب متجه في عدد حقيقي k (كمية قياسية) يضرب كل مركبة فيه: k(Aₓ, Aᵧ, Az) = (kAₓ, kAᵧ, kA_z). والناتج kA يوازي A، ومعياره ‖kA‖ = |k|·‖A‖. إذا كان k موجبًا فاتجاهه كاتجاه A، وإذا كان سالبًا فاتجاهه عكس اتجاهه، وإذا كان k = ٠ فالناتج المتجه الصفري. ويبين الجدول المتجه A = (٢, −١, ٢) ومعياره ٣. وتصح القواعد: k(A + B) = kA + kB و(k + m)A = kA + mA وk(mA) = (km)A. والطرح جمع المعكوس: A − B = A + (−١)B. ويتساوى متجهان عندما تتساوى المركبات الثلاث، فالمعادلة المتجهية الواحدة هي في الحقيقة ثلاث معادلات عددية، وبها نوجد الأحرف المجهولة. ومتجه الوحدة معياره ١. وقسمة المتجه على معياره تختصره إلى طول ١ دون أن تغير اتجاهه، فيكون A/‖A‖ متجه الوحدة في اتجاه A. وعندئذ يكون المتجه الذي معياره m في هذا الاتجاه هو m·A/‖A‖.
| k | kA حيث A = (٢, −١, ٢) | ‖kA‖ | بالنسبة إلى A |
|---|---|---|---|
| ٢ | (٤, −٢, ٤) | ٦ | الاتجاه نفسه وضعف الطول |
| −١ | (−٢, ١, −٢) | ٣ | اتجاه معاكس والطول نفسه |
| ١/٣ | (٢/٣, −١/٣, ٢/٣) | ١ | الاتجاه نفسه وطوله ١: متجه وحدة |
| −١/٢ | (−١, ١/٢, −١) | ٣/٢ | اتجاه معاكس ونصف الطول |
مدّ واقلب. خذ A = (١, ٢, ٢) (معياره ٣). اكتب kA عندما k = ٢ و−١ و١/٣ و−٣، وقل في كل حالة هل بقي الاتجاه وكم أصبح المعيار.