تقاطع المستقيم والمستوى والزاوية بين مستويين والأبعاد

أين يقطع المستقيم ⁦r = A + t d⁩ المستوى ⁦ax + by + cz = k⁩؟ نقطة المستقيم هي ⁦(x, y, z) = A + t d⁩. عوّضها في معادلة المستوى فتحصل على معادلة خطية في ⁦t⁩ هي ⁦(n · d)t = k − n · A⁩ حيث ⁦n = (a, b, c)⁩. وهناك ثلاث حالات كما في الجدول. إذا كان ⁦n · d⁩ لا يساوي ⁦٠‎⁩ فلـ ⁦t⁩ قيمة واحدة ومن ثم توجد نقطة مشتركة واحدة بالضبط: عوّض ⁦t⁩ لتجد النقطة. وإذا كان ⁦n · d = ٠‎⁩ فإن اتجاه المستقيم عمودي على المتجه العمودي، فالمستقيم يوازي المستوى؛ وعندئذ إما ألا تكون النقطة ⁦A⁩ في المستوى (لا حل: لا توجد نقطة مشتركة) وإما أن تكون فيه (كل قيم ⁦t⁩ تصلح: المستقيم يقع في المستوى). ننتقل الآن إلى مستويين. زاويتهما هي الزاوية بين متجهيهما العموديين مأخوذة حادة: ⁦cos θ = |n₁ · n₂|/(‖n₁‖‖n₂‖)⁩ حيث ⁦٠‎° ≤ θ ≤ ٩٠‎°⁩. ويتوازى المستويان عندما يكون المتجهان العموديان متناسبين ⁦n₁ = kn₂⁩ ويتعامدان عندما ⁦n₁ · n₂ = ٠‎⁩. والمستويان المتوازيان المختلفان لا يتقاطعان؛ وفيما عدا ذلك يتقاطع المستويان في مستقيم نتناوله في الدرس القادم. اقرأ المتجهات العمودية دائمًا من معاملات ⁦x⁩ و⁦y⁩ و⁦z⁩ وانتبه إلى المعادلات المكتوبة بترتيب مختلف.