نظرية ديموافر والجذور النونية والجذور التربيعية للأعداد المركبة
الأسبوع 6 · De Moivre’s theorem, n-th roots of a complex number, square roots of a complex number and quadratic equations with complex coefficients · 3 دروس
3
الجذران التربيعيان لعدد مركب بالصورة x + yi، والمعادلات التربيعية ذات المعاملات المركبة
الجذر التربيعي للعدد a + bi · عدد x + yi مربعه a + bi؛ وللعدد دائمًا جذران أحدهما سالب الآخرالمميز · b² − ٤ac للمعادلة az² + bz + c = ٠المعاملات المركبة · الأعداد a, b, c في المعادلة التربيعية أعداد مركبة
Explanation
نحتاج أحيانًا إلى الجذرين التربيعيين بالصورة x + yi لا بالصورة المثلثية. نبحث عن x + yi بحيث (x + yi)² = a + bi. بالنشر نجد x² − y² + ٢xy·i = a + bi، وبمقارنة الجزأين الحقيقيين والتخيليين: x² − y² = a و٢xy = b. وتأتي معادلة ثالثة من المقياس: مقياس (x + yi)² يساوي x² + y² ويجب أن يساوي مقياس a + bi، فيكون x² + y² = √(a² + b²). نجمع هذه المعادلة مع الأولى ونطرح لنحصل على x² وy²، ثم نأخذ الجذر التربيعي ونحدد الإشارتين من ٢xy = b: إذا كان b موجبًا فللعددين x وy الإشارة نفسها، وإذا كان سالبًا فإشارتاهما مختلفتان. وتأتي الإجابة دائمًا زوجًا ±(x + yi). ويبين الجدول ثلاثة أعداد لها المقياس نفسه ١٣. وفي المعادلة az² + bz + c = ٠ ذات المعاملات المركبة تبقى الصيغة z = (−b ± √(b² − ٤ac))/(٢a) صالحة: نحسب المميز، ونأخذ جذره التربيعي المركب بالطريقة السابقة، ثم نكمل. وعلى خلاف المعادلات الحقيقية لا يلزم أن يكون الجذران مترافقين.
معادلة تربيعية معاملاتها حقيقية أحد جذريها ٢ + ٣i. ما الجذر الآخر؟ وهل ينطبق ذلك على المثال الثاني الذي جذراه ٣ − i و١ + ٢i؟
المعادلة ذات المعاملات الحقيقية جذراها مترافقان، فالجذر الآخر ٢ − ٣i. أما في المثال الثاني فالجذران ٣ − i و١ + ٢i غير مترافقين لأن معاملات تلك المعادلة ليست حقيقية.
