الرياضيات البحتة (بالعربية) الصف الثالث الثانوي، الأسبوع 5: العمل بالصورة الأسية: الضرب والقسمة والعودة إلى الصورة ⁦x + yi⁩

الضرب والقسمة والقوى بالصورة المثلثية والصورة الأسية

الأسبوع 5 · Products, quotients and powers in trigonometric form, and the exponential (Euler) form of a complex number · 3 دروس

العمل بالصورة الأسية: الضرب والقسمة والعودة إلى الصورة ⁦x + yi⁩

Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 1

Goalأضرب وأقسم وأرفع إلى قوى بالصورة الأسية ثم أعود إلى الصورة ⁦x + yi⁩.

New words

القوانين بالصورة الأسية · ⁦r١‎e^(iθ١‎) · r٢‎e^(iθ٢‎) = r١‎r٢‎ e^(i(θ١‎+θ٢‎))⁩ والقسمة تطرحالعودة إلى ⁦x + yi⁩ · ⁦re^(iθ) = r cos θ + i r sin θ⁩

Explanation

بالصورة الأسية تصبح قواعد الدرس السابق قوانين الأسس المعتادة، ولهذا فهذه الكتابة مفيدة جدًّا: ⁦r١‎e^(iθ١‎) · r٢‎e^(iθ٢‎) = r١‎r٢‎ e^(i(θ١‎ + θ٢‎))⁩ و⁦r١‎e^(iθ١‎) ÷ r٢‎e^(iθ٢‎) = (r١‎/r٢‎) e^(i(θ١‎ − θ٢‎))⁩ و⁦(re^(iθ))ⁿ = rⁿ e^(inθ)⁩. ويضع الجدول الصورتين جنبًا إلى جنب. وخطة جيدة لمسألة فيها عدة أعداد مركبة: (⁦١‎⁩) نكتب كل عدد بالصورة الأسية بمقياسه وسعته الأساسية؛ (⁦٢‎⁩) نطبق القوانين؛ (⁦٣‎⁩) إن خرجت السعة من ⁦]−π, π]⁩ نضيف ⁦٢‎π⁩ أو نطرحها؛ (⁦٤‎⁩) وإن طلب السؤال ⁦x + yi⁩ ننهي بـ ⁦r cos θ + i r sin θ⁩ بالقيم الدقيقة. ومقدار مثل ⁦(١‎ + i)/(√٣‎ − i)⁩ أسهل كثيرًا بهذه الطريقة منه بالضرب في المرافق، وقوى حاصل القسمة شبه مجانية.

الصورة	الضرب z1·z2	القسمة z1 ÷ z2	القوة zⁿ
مثلثية	r1r2 (cos(θ1+θ2) + i sin(θ1+θ2))	(r1/r2)(cos(θ1−θ2) + i sin(θ1−θ2))	rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
أسّية	r1r2 e^(i(θ1+θ2))	(r1/r2) e^(i(θ1−θ2))	rⁿ e^(inθ)

Worked examples

احسب ⁦(٢‎e^(iπ/٣‎))(٣‎e^(iπ/٢‎))⁩ بالصورة ⁦x + yi⁩. المقياسان: ⁦٢‎ × ٣‎ = ٦‎⁩. السعتان: ⁦π/٣‎ + π/٢‎ = ٥‎π/٦‎⁩. فهو ⁦٦‎e^(٥‎πi/٦‎) = ٦‎(−√٣‎/٢‎ + i/٢‎) = −٣‎√٣‎ + ٣‎i⁩.

بسّط ⁦(١‎ + i)/(√٣‎ − i)⁩. ⁦١‎ + i = √٢‎ e^(iπ/٤‎)⁩ و⁦√٣‎ − i = ٢‎e^(−iπ/٦‎)⁩. الناتج ⁦(√٢‎/٢‎) e^(i(π/٤‎ + π/٦‎)) = (√٢‎/٢‎) e^(٥‎πi/١٢‎)⁩. التحقق بالجبر: ⁦(١‎ + i)(√٣‎ + i)/٤‎ = ((√٣‎ − ١‎) + (√٣‎ + ١‎)i)/٤‎⁩ ومقياسه ⁦√٨‎/٤‎ = √٢‎/٢‎⁩ وسعته ⁦٧٥‎° = ٥‎π/١٢‎⁩.

أوجد ⁦((√٣‎ + i)/(√٣‎ − i))³⁩. ⁦√٣‎ + i = ٢‎e^(iπ/٦‎)⁩ و⁦√٣‎ − i = ٢‎e^(−iπ/٦‎)⁩ فحاصل القسمة ⁦e^(iπ/٣‎)⁩. وبرفعه إلى القوة ⁦٣‎⁩ نجد ⁦e^(iπ) = −١‎⁩.

اكتب ⁦٢‎√٢‎ e^(−٣‎πi/٤‎)⁩ بالصورة ⁦x + yi⁩: ⁦٢‎√٢‎(cos(−٣‎π/٤‎) + i sin(−٣‎π/٤‎)) = ٢‎√٢‎(−√٢‎/٢‎ − i√٢‎/٢‎) = −٢‎ − ٢‎i⁩.

Class activity

طريقتان. احسب ⁦(١‎ + i)(√٣‎ + i)⁩ بالضرب العادي ثم بالصورة الأسية، وتحقّق من أن كليهما يعطي المقياس ⁦٢‎√٢‎⁩ والزاوية ⁦٧٥‎°⁩.

Practice

احسب ⁦(٤‎e^(iπ/٤‎))(٢‎e^(iπ/١٢‎))⁩ بالصورة ⁦x + yi⁩.

احسب ⁦٩‎e^(٢‎πi/٣‎) ÷ ٣‎e^(iπ/٦‎)⁩.

أوجد ⁦(e^(iπ/٥‎))¹⁰⁩.

أوجد ⁦(٢‎e^(iπ/٦‎))³⁩ بالصورة ⁦x + yi⁩.

اكتب ⁦Z١‎Z٢‎⁩ بالصورة الأسية من أجل ⁦Z١‎ = ١‎ + i⁩ و⁦Z٢‎ = √٣‎ + i⁩.