العمود على مستقيم والبعد عن مستقيم ومعادلة المستوى
Answers are for parents and teachers.
1
أوجد قدم العمود المرسوم من A(٠, ٣, −٢) على المستقيم r = (١, ٠, ٠) + t(٢, −١, ٢)، والمستقيم المار بـ A والقاطع له على التعامد، والبعد.
C = (١ + ٢t, −t, ٢t) وAC = (٢t + ١, −t − ٣, ٢t + ٢). AC · d = ٤t + ٢ + t + ٣ + ٤t + ٤ = ٩t + ٩ = ٠ فيكون t = −١ وC = (−١, ١, −٢) وAC = (−١, −٢, ٠). المستقيم r = (٠, ٣, −٢) + s(−١, −٢, ٠) والبعد √٥.
2
اكتب بالصورة العامة معادلة المستوى المار بالنقطة (−٣, ١, ٢) ومتجهه العمودي (٤, −٢, ١).
n · A = −١٢ − ٢ + ٢ = −١٢ فيكون ٤x − ٢y + z = −١٢ أي ٤x − ٢y + z + ١٢ = ٠.
3
أوجد المستوى المار بالنقط D(١, −١, ٢) وE(٣, ٠, −١) وF(٢, ٢, ١).
DE = (٢, ١, −٣) وDF = (١, ٣, −١). DE × DF = (١ × (−١) − (−٣) × ٣, −(٢ × (−١) − (−٣) × ١), ٢ × ٣ − ١ × ١) = (٨, −١, ٥). n · D = ٨ + ١ + ١٠ = ١٩ فيكون ٨x − y + ٥z = ١٩. التحقق من E: ٢٤ − ٠ − ٥ = ١٩ ومن F: ١٦ − ٢ + ٥ = ١٩.
4
أوجد المستوى المحتوي على المستقيمين (١, ٠, ٢) + s(١, ١, ٠) و(٢, ٣, ٠) + t(١, −١, ٢) اللذين يتقاطعان في (٣, ٢, ٢).
n = (١, ١, ٠) × (١, −١, ٢) = (١ × ٢ − ٠ × (−١), −(١ × ٢ − ٠ × ١), ١ × (−١) − ١ × ١) = (٢, −٢, −٢) أي (١, −١, −١). n · P = ٣ − ٢ − ٢ = −١ فيكون x − y − z = −١ أي x − y − z + ١ = ٠. التحقق من (١, ٠, ٢): ١ − ٠ − ٢ = −١ ومن (٢, ٣, ٠): ٢ − ٣ − ٠ = −١.
5
استعمل الضرب الاتجاهي لإيجاد بعد النقطة P(٢, ١, −١) عن المستقيم المار بالنقطة A(٠, ١, ١) واتجاهه (٢, ٢, −١).
AP = (٢, ٠, −٢). AP × d = (٠ × (−١) − (−٢) × ٢, −(٢ × (−١) − (−٢) × ٢), ٢ × ٢ − ٠ × ٢) = (٤, −٢, ٤) وطوله ٦. نقسم على ‖d‖ = ٣ فالبعد ٢.