العمود على مستقيم والبعد عن مستقيم ومعادلة المستوى
الأسبوع 13 · A line meeting a given line at right angles, the distance from a point to a line, the equation of a plane in vector, standard and general form, a plane through three points or containing two lines · 3 دروس
2
معادلة المستوى من نقطة ومتجه عمودي: الصور المتجهة والقياسية والعامة
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 4, Lessons 1–2
Goalأكتب معادلة مستوى مار بنقطة معلومة ومتجه عمودي عليه معلوم بالصور المتجهة والقياسية والعامة.
New words
المتجه العمودي على المستوى · متجه غير صفري عمودي على المستوى؛ وأي مضاعف غير صفري له متجه عمودي أيضًاالمعادلة المتجهة للمستوى · n · r = n · A حيث A نقطة من المستوى وn متجه عمودي عليهالصورة العامة · ax + by + cz + d = ٠ حيث (a, b, c) متجه عمودي
Explanation
يتعين المستوى بنقطة A منه واتجاه عمودي عليه. والمتجه العمودي n هو أي متجه غير صفري عمودي على المستوى. تقع النقطة P التي متجه موضعها r في المستوى إذا وفقط إذا كان AP عموديًا على n، أي n · (r − A) = ٠ ومنه n · r = n · A. هذه هي المعادلة المتجهة للمستوى. وإذا كان n = (a, b, c) وA = (x₁, y₁, z₁) وr = (x, y, z) فهي a(x − x₁) + b(y − y₁) + c(z − z₁) = ٠ وهي الصورة القياسية. وبالفك نحصل على ax + by + cz + d = ٠ حيث d = −(ax₁ + by₁ + cz₁) وهي الصورة العامة. وفي الصورة العامة تكون معاملات x وy وz مركبات متجه عمودي، ولا تتغير بضرب المعادلة كلها في عدد. ولاختبار وقوع نقطة في المستوى نعوّض إحداثياتها في المعادلة. مستويات خاصة: z = k متجهه العمودي (٠, ٠, ١) وهو يوازي المستوى xy؛ وإذا كان معامل y صفرًا كما في ٥x + ٢z = ١٠ فإن b = ٠ في المتجه العمودي ويوازي المستوى المحور y. وليس للمستوى ميل؛ والمتجه العمودي هو الذي يبين انحرافه.
الصورة
المستوى المار بالنقطة (١, −٢, ٤) والمتجه العمودي عليه (٢, −٣, ١)
المتجهة
(٢, −٣, ١) · r = ١٢
القياسية
٢(x − ١) − ٣(y + ٢) + (z − ٤) = ٠
العامة
٢x − ٣y + z − ١٢ = ٠
Worked examples
المستوى المار بالنقطة (١, −٢, ٤) ومتجهه العمودي n = (٢, −٣, ١). الصورة المتجهة: n · r = ٢ × ١ + (−٣)(−٢) + ١ × ٤ = ١٢. الصورة القياسية: ٢(x − ١) − ٣(y + ٢) + (z − ٤) = ٠. الصورة العامة: ٢x − ٣y + z − ١٢ = ٠.
هل (٤, −٢, −٢) على المستوى ٢x − ٣y + z = ١٢؟ ٨ + ٦ − ٢ = ١٢: نعم. وهل (٣, ٢, ٠)؟ ٦ − ٦ + ٠ = ٠ ≠ ١٢: لا.
قراءة متجه عمودي. للمستوى ٥x + ٢z = ١٠ المتجه العمودي (٥, ٠, ٢)؛ وليس فيه جزء في y فالمستوى يوازي المحور y. وللمستوى z = ٤ المتجه العمودي (٠, ٠, ١) وهو مستوى أفقي.
Class activity
مستوى من ورقة. أمسك ورقة أفقية وقلمًا قائمًا عليها: القلم متجه عمودي. أمِل الورقة وأبقِ القلم قائمًا عليها. ما الذي يتغير في المعادلة عند إمالة الورقة؟ (المتجه العمودي، أي a, b, c.)
