الزاوية بين مستقيمين، والمستقيمان المتوازيان والمتعامدان والمتقاطعان والمتخالفان
الزاوية بين مستقيمين هي الزاوية بين متجهي اتجاههما، لكن للمستقيم اتجاهين d و−d فنأخذ الزاوية الحادة (أو القائمة): cos θ = |d₁ · d₂|/(‖d₁‖‖d₂‖) حيث ٠° ≤ θ ≤ ٩٠°. والقيمة المطلقة في البسط تفعل ذلك. وإذا أُعطي المستقيمان بجيوب تمام الاتجاه فإن cos θ = |ℓ₁ℓ₂ + m₁m₂ + n₁n₂|. وهناك حالات خاصة: يتعامد المستقيمان عندما d₁ · d₂ = ٠ ويتوازيان عندما d₁ = kd₂ (أو d₁ × d₂ المتجه الصفري). والمستقيمان المتوازيان اللذان يشتركان في نقطة هما المستقيم نفسه. في المستوى يتقاطع أي مستقيمين غير متوازيين. أما في الفراغ ففيه احتمال ثالث: المستقيمان غير المتوازيين إما أن يتقاطعا في نقطة واحدة وإما أن يكونا متخالفين، أي لا يتقاطعان ولا يتوازيان، مثل حرف على أرض الغرفة وحرف آخر مختلف الاتجاه على سقفها. وللحكم نعطي المستقيمين وسيطين مختلفين: s للأول وt للثاني. نساوي الإحداثيات فنحصل على ثلاث معادلات في مجهولين. نحل معادلتين منها ثم نختبر الثالثة: إذا تحققت تقاطع المستقيمان في النقطة التي وجدناها، وإذا لم تتحقق فهما متخالفان. وقد يتقاطع المستقيمان المتعامدان وقد يتخالفان، فالتعامد يقارن الاتجاهين فقط.
| الاتجاهان | نقطة مشتركة؟ | المستقيمان |
|---|---|---|
| متناسبان: d₁ = kd₂ | لا توجد، أو كل النقط | متوازيان (أو منطبقان) |
| غير متناسبين | نقطة واحدة بالضبط | متقاطعان |
| غير متناسبين | لا توجد | متخالفان |
حروف الغرفة. وأنت في غرفة تخيّل ثلاثة حروف: حرف على الأرض بمحاذاة الحائط الشرقي، وحرف على الأرض بمحاذاة الحائط الشمالي، وحرف على السقف بمحاذاة الحائط الشرقي. أي أزواج منها متعامدة ومتقاطعة أو متوازية أو متخالفة؟ (حرف الأرض الشرقي والشمالي يتقاطعان ويتعامدان؛ وحرف الأرض الشرقي وحرف السقف الشرقي متوازيان؛ وحرف السقف الشرقي وحرف الأرض الشمالي متعامدان ومتخالفان.)