المعادلات البارامترية والمعادلة الكارتيزية للمستقيم، والانتقال بين الصور
اكتب المعادلة المتجهة r = A + t d إحداثيًا إحداثيًا. فإذا كان A = (x₁, y₁, z₁) وd = (a, b, c) حصلنا على المعادلات البارامترية: x = x₁ + at, y = y₁ + bt, z = z₁ + ct. وبحل كل معادلة بالنسبة إلى t نجد t = (x − x₁)/a = (y − y₁)/b = (z − z₁)/c أي أن الكسور الثلاثة متساوية، وهذه هي المعادلة الكارتيزية (المتماثلة). وهذه الصورة تتطلب أن تكون a, b, c جميعها مخالفة للصفر لأننا لا نقسم على الصفر. فإذا كان a = ٠ فإن x = x₁ لا يتغير ويُكتب المستقيم x = x₁ مع (y − y₁)/b = (z − z₁)/c. ولقراءة نقطة واتجاه من معادلة كارتيزية تأكد أن كل بسط هو x أو y أو z ناقصًا عددًا بمعامل ١: اقسم البسط والمقام على المعامل. فمثلًا (٢x + ١)/٤ = (x + ½)/٢ و(٣ − y)/٣ = (y − ٣)/(−٣). عندئذ تعطي الأعداد في البسط النقطة وتعطي الأعداد في المقام الاتجاه. تنبيه: المعادلة الواحدة ax + by + cz + d = ٠ تمثل مستويًا وليست مستقيمًا في الفراغ. والمستقيم في الفراغ يحتاج معادلتين مثل التساويين في الصورة الكارتيزية. وإذا أُعطيت نقطتان A وB فخذ d = AB ثم استعمل أيًّا من النقطتين.
| الصورة | المستقيم المار بالنقطة (١, −٢, ٣) واتجاهه (٣, ٢, −٤) |
|---|---|
| المتجهة | r = (١, −٢, ٣) + t(٣, ٢, −٤) |
| البارامترية | x = ١ + ٣t, y = −٢ + ٢t, z = ٣ − ٤t |
| الكارتيزية | (x − ١)/٣ = (y + ٢)/٢ = (z − ٣)/(−٤) |
ترجم وتحقق. اختر أي نقطة وأي اتجاه بأعداد صحيحة صغيرة واكتب الصور الثلاث للمستقيم. ثم اختر قيمة لـ t وأوجد النقطة وتحقق أن إحداثياتها تحقق المعادلة الكارتيزية.