المساحات بالضرب الاتجاهي، والضرب الثلاثي القياسي وحجم متوازي السطوح
خذ متوازي الأضلاع الذي ضلعاه المتجاوران A وB. قاعدته ‖A‖ وارتفاعه ‖B‖ sin θ فمساحته ‖A‖‖B‖ sin θ = ‖A × B‖. والمثلث المقام على الضلعين نفسيهما مساحته نصفها: ½‖A × B‖. وللمثلث PQR نأخذ A = PQ وB = PR. ثم خذ ثلاثة متجهات A, B, C تخرج من نقطة واحدة. الضرب الثلاثي القياسي هو A · (B × C): نحسب B × C أولًا وناتجه متجه، ثم نضربه قياسيًا في A فيكون الناتج عددًا. ولا حاجة إلى أقواس في A · B × C لأن B × C يُحسب أولًا. وهو محدد ٣ × ٣ صفوفه المتجهات الثلاثة. والترتيب الدوري لا يغيره: A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)، أما تبديل متجهين فيغير الإشارة. هندسيًا: المتجهات الثلاثة ثلاثة أحرف من متوازي سطوح وحجمه |A · (B × C)|: مساحة القاعدة ‖B × C‖ في الارتفاع، وهو مركبة A في اتجاه B × C. وإذا وقعت المتجهات الثلاثة في مستوى واحد كان المجسم مسطحًا وناتج الضرب الثلاثي ٠، وهذا اختبار لوقوع ثلاثة متجهات في مستوى واحد. ويُستعمل الضرب الثلاثي القياسي في الاستاتيكا وفي التصميم حيث تلزم الحجوم والعزوم.
حجم الطوبة. طوبة أبعادها ٢ و٣ و٥ وحدات وأحرفها على i, j, k: A = ٢i وB = ٣j وC = ٥k. تحقق بالمحدد أن A · (B × C) = ٣٠ وهو الطول في العرض في الارتفاع. ثم أمِل الوجه العلوي بتغيير C إلى (١, ١, ٥): هل يتغير الحجم؟ (لا يتغير، فالقاعدة والارتفاع كما هما.)