الضرب الاتجاهي والمساحات والضرب الثلاثي القياسي
Answers are for parents and teachers.
1
أوجد A × B إذا كان A = (−٣, ٢, −٢) وB = (١, ٢, ٢)، ثم متجهي الوحدة العموديين على كل منهما.
الجزء في i: ٢ × ٢ − (−٢) × ٢ = ٨. الجزء في j: −((−٣) × ٢ − (−٢) × ١) = −(−٦ + ٢) = ٤. الجزء في k: (−٣) × ٢ − ٢ × ١ = −٨. إذن A × B = (٨, ٤, −٨) وطوله ١٢ ومتجها الوحدة ±(٢/٣, ١/٣, −٢/٣).
2
أوجد مساحة المثلث الذي رءوسه D(٢, ٠, ١) وE(٣, ٢, ٣) وF(٠, ١, ٥).
DE = (١, ٢, ٢) وDF = (−٢, ١, ٤). DE × DF = (٢ × ٤ − ٢ × ١, −(١ × ٤ − ٢ × (−٢)), ١ × ١ − ٢ × (−٢)) = (٦, −٨, ٥) وطوله √١٢٥ = ٥√٥. المساحة ٥√٥/٢ ≈ ٥٫٥٩.
3
أوجد حجم متوازي السطوح الذي أحرفه (٢, ١, ٠) و(١, ٣, ١) و(٠, ١, ٤).
المحدد ٢ × (٣ × ٤ − ١ × ١) − ١ × (١ × ٤ − ١ × ٠) + ٠ = ٢٢ − ٤ = ١٨. الحجم ١٨ وحدة مكعبة.
4
لأي قيمتين a وb يوازي (a, −٦, ٩) المتجه (٢, b, −٣)؟
(a, −٦, ٩) = λ(٢, b, −٣): من ٩ = −٣λ نجد λ = −٣ فيكون a = −٦ ومن −٦ = −٣b نجد b = ٢.
5
إذا كان ‖A‖ = ٤ و‖B‖ = ٥ وA · B = −١٢ فأوجد ‖A × B‖.
cos θ = −١٢/٢٠ = −٣/٥ ومنه sin θ = ٤/٥ (الزاوية منفرجة وجيبها موجب). إذن ‖A × B‖ = ٢٠ × ٤/٥ = ١٦.